حل مسألة النسب بين مكعبين وتأثيره على مساحاتهما (مسألة رياضيات)

نسبة حجوم مكعبين هي 1000:1331، فما هي نسبة مساحاتهما الإجمالية؟

حل المسألة:

لنفترض أن الحجم الأول للمكعب هو $V_1$ والحجم الثاني هو $V_2$، ونعلم أن نسبة الحجم بينهما هي 1000:1331. يمكننا كتابة هذه النسبة على النحو التالي:

لكننا نعلم أيضًا أن حجم المكعب يتناسب مع مكعب طول حافة الذي يتم رفعه إلى القوة الثالثة، لذلك يمكننا كتابة هذه النسبة بالشكل التالي:

لنجد النسبة بين حواف المكعبين:

الآن، إذا كنا نعلم حواف المكعبين، يمكننا حساب مساحاتهما الإجمالية. مساحة السطح للمكعب تتناسب مع مربع طول حافة الذي يتم ضربه في 6 (لأن هناك 6 وجوه في المكعب). لذلك، يمكننا كتابة النسبة بين مساحات السطح كالتالي:

الآن نستخدم القيمة التي حسبناها من النسبة الأولى:

الآن يمكننا حساب هذه القيمة والحصول على النسبة بين مساحات السطح للمكعبين.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم حجم المكعب ومفهوم مساحة السطح.

لنبدأ بتعريف الحجم (المكعب) والمساحة الإجمالية (سطح المكعب):

1. حجم المكعب:
   يتم حساب حجم المكعب برفع طول حافة المكعب إلى القوة الثالثة. إذا كانت حافة المكعب تمثل بـ “s”، فإن حجم المكعب يكون $V = s^3$.

2. مساحة السطح للمكعب:
   يتم حساب مساحة السطح للمكعب بضرب طول حافة المكعب في نفسها مرة واحدة، ثم في 6 (عدد الوجوه). إذا كانت حافة المكعب تمثل بـ “s”، فإن مساحة السطح تكون $A = 6s^2$.

القانون الأساسي الذي نستخدمه هنا هو أن حجم المكعب يتناسب مع مكعب طول حافته، ومن ثم نستخدم هذا العلاقة لحساب النسبة بين حواف المكعبين. ثم نستخدم هذه النسبة لحساب النسبة بين مساحات السطح.

الآن، لحل المسألة:

1. حساب نسبة حجم المكعبين:
   نعلم أن النسبة بين حجم المكعبين هي 1000:1331. لحساب نسبة الحواف، نستخدم العلاقة:

   $$\frac{\text{طول حافة المكعب الأول}}{\text{طول حافة المكعب الثاني}} = \left(\frac{1000}{1331}\right)^{1/3}$$

2. حساب نسبة مساحة السطح:
   الآن، بعد أن حصلنا على نسبة الحواف، يمكننا استخدامها لحساب نسبة مساحات السطح:

   $$\frac{\text{مساحة السطح للمكعب الأول}}{\text{مساحة السطح للمكعب الثاني}} = \left(\frac{\text{طول حافة المكعب الأول}}{\text{طول حافة المكعب الثاني}}\right)^2$$

   ونستخدم القيمة التي حسبناها في الخطوة الأولى.

هذا هو الحل باستخدام قوانين حجم المكعب ومساحة السطح، والتي تعتمد على العلاقات الرياضية بين الأبعاد والحجوم.