حل مسألة المستطيلات بأطوال صحيحة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بمستطيل يحمل محيطًا يبلغ 64 بوصة، وكل جانب لديه طول صحيح. كم عدد المستطيلات غير المتطابقة التي تفي بهذه الشروط؟

حل المسألة:
لنقم بتسمية الطول والعرض للمستطيل بأطوال صحيحة a و b على التوالي. يتبع محيط المستطيل العلاقة:

$2a + 2b = 64$

نقوم بتبسيط المعادلة:

$a + b = 32$

الآن، نحتاج إلى الأزواج من الأعداد الصحيحة التي تجمع إلى 32. يمكننا تحديد هذه الأزواج بسهولة:

$(1, 31), (2, 30), (3, 29), … , (15, 17)$

ومن ثم، يمكننا ضرب كل زوج في 2 للحصول على الأطوال الفعلية للمستطيل. لكن هناك نقطة يجب مراعاتها، وهي أن الأطوال متباينة، أي $a \neq b$. لذا نحتاج إلى تقسيم عدد الأزواج على 2 لتجنب الاحتساب المزدوج للمستطيلات ذات الأطوال المتباينة.

إذاً، يمكننا اعتبار الأزواج التالية:

$(1, 31), (2, 30), (3, 29), … , (15, 17)$

ومن ثم نقوم بتقسيم عددها على 2:

$(1, 31), (2, 30), (3, 29), … , (15, 17)$

وبالتالي، هناك 15 مستطيلًا غير متطابق يمكن تكوينها وفقًا للشروط المحددة.

فيما يلي توضيح أكثر لحل المسألة والقوانين المستخدمة:

المسألة تنطوي على مستطيل يحمل محيطًا يبلغ 64 بوصة، وكل جانب لديه طول صحيح. نقوم بتسمية الأطوال بـ $a$ و $b$ حيث تكون $a$ هي الطول و$b$ هو العرض.

القوانين المستخدمة:

1. محيط المستطيل:
   $2a + 2b = 64$
   هذه المعادلة تعبر عن حقيقة أن محيط المستطيل يكون مجموع طولي الضلعين المتقابلين مضروبًا في 2.

2. علاقة بين الأطوال:
   $a + b = 32$
   هذه المعادلة تعكس حقيقة أن مجموع الطول والعرض يساوي 32 بوصة، وهي تأتي من تبسيط المعادلة السابقة.

3. تقسيم الأزواج:
   نحن بحاجة إلى أزواج من الأعداد الصحيحة التي تجمع إلى 32، ولكن نأخذ في اعتبارنا أن $a \neq b$ لتكوين مستطيلات غير متطابقة.

بمراعاة هذه القوانين، نقوم بحساب الأزواج الصحيحة الممكنة التي تجمع إلى 32. تبدأ الأزواج بـ $(1, 31)$ وتستمر حتى $(15, 17)$. ومن ثم، نقوم بتقسيم عددها على 2 لتجنب الاحتساب المزدوج للمستطيلات ذات الأطوال المتباينة.

الحل:

$(1, 31), (2, 30), (3, 29), … , (15, 17)$

وبتقسيم عددها على 2:

$(1, 31), (2, 30), (3, 29), … , (15, 17)$

إذاً، هناك 15 مستطيلًا غير متطابق يمكن تكوينها وفقًا للشروط المحددة.