حل مسألة: المسافة بين نقطتين في الإحداثيات (مسألة رياضيات)

بعدما سار المسافر 18 ميلاً شمالاً، ثم 11 ميلاً غرباً، و 6 ميلاً جنوباً، وأخيراً 6 ميلاً شرقاً على سطح مستو، فكم يبعد المسافر عن نقطة البداية؟

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام نظام الإحداثيات القطبية لتمثيل حركة المسافر. نفترض أن نقطة البداية (نقطة (0,0))) تعبر عن المركز الأصلي.

المسافة التي يسافرها المسافر شمالاً تمثل طول القطب (r)، وزاوية الاتجاه (θ) هي 0 درجة.

بعد ذلك، يسافر المسافر 11 ميلاً غرباً، لذا نقوم بتقليل الزاوية بـ 90 درجة لتكون الزاوية (-90 درجة)، والمسافة (r) تبقى كما هي.

ثم يسير 6 ميلاً جنوباً، لذا يزيد الزاوية بمقدار 180 درجة لتصبح (θ = 90 درجة)، ويبقى الطول الشمالي كما هو.

أخيراً، يسير 6 ميلاً شرقاً، لذا نقوم بزيادة الزاوية بمقدار 90 درجة لتصبح (θ = 0 درجة)، والمسافة (r) تبقى كما هي.

الآن نحتاج إلى حساب المكان النهائي بعد تلك الحركات.

للقيام بذلك، يمكننا استخدام المتسلسلة الهندسية. لدينا:
المكان النهائي شمالاً = 18 ميلاً – 6 ميلاً = 12 ميلاً شمالاً
المكان النهائي شرقاً = 6 ميلاً – 6 ميلاً = 0 ميلاً (في المحاور الأفقية)

الآن، باستخدام القضية الثالثة لمثلث قائم الزاوية، يمكننا حساب المسافة بين النقطة النهائية ونقطة البداية:

المسافة = جذر(12^2 + 0^2) = جذر(144) = 12 ميلاً

إذاً، المسافر يبعد 12 ميلاً عن نقطة البداية.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم الإحداثيات والحسابات الهندسية. سنستخدم القوانين التالية:

1. قانون الأقطار والمستقيمات: حيث يمكننا استخدام متسلسلة الأقطار لحساب الموقع النهائي بعد تحرك المسافر بحيث يمكننا استخدام مفهوم المثلثات لحساب الطول النهائي.

2. قانون الجذور التربيعية: لحساب المسافة بين نقطتين في نظام الإحداثيات.

بدايةً، سنستخدم الإحداثيات القطبية لتمثيل حركة المسافر:

• الزاوية (θ): تمثل اتجاه الحركة، حيث تكون 0 درجة للشمال و90 درجة للشرق و 180 درجة للجنوب و -90 درجة للغرب.
• الشعاع (r): يمثل المسافة المقطوعة من نقطة البداية.

ثم سنقوم بحساب المسافات النهائية في الاتجاهات المختلفة:

1. الحركة الشمالية: المسافة المقطوعة 18 ميلاً شمالاً.
2. الحركة الغربية: المسافة المقطوعة 11 ميلاً غرباً.
3. الحركة الجنوبية: المسافة المقطوعة 6 ميلاً جنوباً.
4. الحركة الشرقية: المسافة المقطوعة 6 ميلاً شرقاً.

بعد ذلك، سنستخدم القضية الثالثة للمثلثات القائمة لحساب المسافة بين النقطة النهائية ونقطة البداية باستخدام المسافات الشمالية والغربية. حيث يمكننا استخدام المعادلة التالية:

$المسافة = \sqrt{(المسافة الشمالية)^2 + (المسافة الغربية)^2}$

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة وحساب المسافة النهائية.

حركة شمالاً: $r = 18$ ميلاً
حركة غرباً: $r = 11$ ميلاً
حركة جنوباً: $r = 6$ ميلاً
حركة شرقاً: $r = 6$ ميلاً

الآن، سنقوم بحساب الموقع النهائي باستخدام القضية الثالثة للمثلثات القائمة:

$المسافة = \sqrt{(18 – 6)^2 + (6 – 6)^2} = \sqrt{(12)^2 + (0)^2} = \sqrt{144} = 12$ ميلاً.

إذاً، المسافر يبعد 12 ميلاً عن نقطة البداية.