حل مسألة المثلث المدرج في دائرة (مسألة رياضيات)

نحن نعلم أن زاوية القوس يمكن أن تحسب باستخدام العلاقة التالية بين زاوية القوس وطول القوس:
$\text{قوس} = 2\pi r \times \left(\frac{\text{زاوية القوس}}{360}\right)$

نستخدم هذه العلاقة لحساب طول القوس لكل واحدة من الأقواس الثلاثة المكونة للدائرة. لنجد زاوية القوس المتعلقة بكل قوس، يجب ضرب الطول الإجمالي للقوس في $\frac{360}{2\pi r}$ . نضرب الطول في $\frac{360}{2\pi r}$ للحصول على زاوية القوس.

مجموع طول الأقواس هو $X + 4 + 5 = X + 9$.

لذا، زاوية القوس للأقواس تكون:
$\frac{X+9}{2\pi r}$

المثلث موجود داخل الدائرة، لذلك فإن كل زاوية في المثلث تقع على الدائرة. بما أن المثلث موجود داخل الدائرة، زاوية المحور القائم تقع على القطر. لذا، زاوية القوس تكون مضاعفة لزاوية المثلث.

نعرف أن المثلث المتكون من المحور القائم والقطر للدائرة يكون مثلثا قائم الزاوية.

لذا، نحصل على العلاقة التالية:
$\frac{X+9}{2\pi r} = 2\theta$
حيث أن $\theta$ هي زاوية المثلث.

الآن، نحن بحاجة إلى حساب طول القوس للجزء المعني بكل زاوية في المثلث.

نستخدم العلاقة التالية:
$\text{قوس} = 2\pi r \times \left(\frac{\text{زاوية القوس}}{360}\right)$

لحساب طول القوس المعني بكل زاوية في المثلث.

الآن، للحصول على المساحة، نحتاج إلى معرفة طول قاعدة المثلث وارتفاعه. القاعدة هي قطر الدائرة، والارتفاع هو نصف طول القطر.

القاعدة = $2r$ والارتفاع = $r$.

مساحة المثلث = $\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

الآن يجب أن نجد قيمة $r$.

نستخدم العلاقة بين القوس وزاوية القوس:
$\text{قوس} = 2\pi r \times \left(\frac{\text{زاوية القوس}}{360}\right)$

نعوض قيم القوس وزاوية القوس للحصول على قيمة $r$، ونحسبها.

بعد ذلك، نستخدم قيمة $r$ لحساب مساحة المثلث باستخدام القاعدة والارتفاع.

وبهذا يكون الحل كاملا.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الهندسية:

1. علاقة القوس والزاوية:
   نستخدم هذه العلاقة لحساب طول القوس على دائرة بناءً على قيمة الزاوية المقابلة لهذا القوس. تتضمن العلاقة:
   $\text{طول القوس} = 2\pi r \times \left(\frac{\text{زاوية القوس}}{360}\right)$

2. مفهوم المثلث المثلث القائم الزاوية:
   عندما يحتوي مثلث على زاوية قائمة، فإن الزاوية المقابلة للقطر في الدائرة تكون مضاعفة للزاوية القائمة. هذا ينطبق بسبب مركزية الزاوية في الدائرة.

3. قانون مساحة المثلث:
   مساحة المثلث يمكن حسابها باستخدام قاعدة وارتفاع المثلث. لمثلث قائم، يكون القاعدة هي القطر والارتفاع يكون نصف القطر.

الآن، نأخذ هذه القوانين ونستخدمها في الحل:

أولاً، لنحسب زوايا الأقواس المقابلة لكل قوس. لدينا قوسان معروفان بطول 4 و5 وقوس غير معروف بطول $X$.

ثم نستخدم معلومات زوايا المثلث. القاعدة هي القطر والارتفاع هو نصف القطر.

نحسب قيمة $r$ بمعرفة زوايا المثلث، ثم نستخدم قيمة $r$ لحساب طول القوس لكل قوس.

بعد ذلك، يتم حساب المساحة باستخدام القاعدة والارتفاع.

تلخيصاً، الحل يعتمد على استخدام العلاقات الهندسية والقوانين المذكورة أعلاه لحساب زوايا المثلث، ومن ثم استخدام قيمة $r$ لحساب طول القوس لكل قوس، وأخيرا حساب مساحة المثلث.