حل مسألة المتتابعة الحسابية: العنصر الـ2008 (مسألة رياضيات)

نعطى متتابعة حسابية، يتم فيها حساب المتوسط الحسابي للعناصر الأولى $n$ من المتتابعة ليكون $n$. نريد حساب العنصر رقم 2008 في المتتابعة.

لنقم بتحليل الشرط الذي يعطى في السؤال. إذا كان متوسط أول $n$ عنصر في المتتابعة يساوي $n$، فإن مجموع العناصر الأولى $n$ يجب أن يكون $n^2$، لأن متوسط $n$ أعداد يساوي المجموع مقسوماً على $n$.

لنستخدم هذا الملاحظة في حساب العنصر رقم 2008. سنبدأ بحساب قيمة $n$ حيث يتحقق المجموع التربيعي. نريد معرفة أصغر عدد صحيح $n$ بحيث يكون $1 + 2 + 3 + \ldots + n$ أكبر من 2008.

نعلم أن مجموع الأعداد الأولى $n$ هو $\frac{n(n+1)}{2}$، لذا يجب حل المعادلة التالية:

نحل هذه المعادلة لنحصل على قيمة تقريبية لـ $n$.

نستخدم القسمة الطويلة أو طريقة العوامل لحل المعادلة التربيعية، لكن بمراعاة أن القيمة السالبة لا تمثل معنى في هذا السياق. نحتاج القيمة الموجبة فقط:

هذا يعني أن أصغر عدد صحيح $n$ الذي يجعل مجموع الأعداد الأولى $n$ أكبر من 2008 هو 63. وهذا يعني أن العنصر الـ 2008 سيكون في القسم 63 من المتتابعة.

الآن، نعرف أن المتوسط الحسابي للعناصر الأولى $n$ في المتتابعة يساوي $n$، لذا مجموع العناصر الأولى $n$ يجب أن يساوي $n^2$. لذا، مجموع العناصر الأولى 63 يجب أن يكون $63^2$.

لذا، العنصر رقم 2008 في المتتابعة هو الفارق بين مجموع العناصر الأولى 63 ومجموع العناصر الأولى 62.

يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب العنصر $n$ في المتتابعة الحسابية:

حيث $a_n$ هو العنصر الثالث في المتتابعة، $a_1$ هو العنصر الأول، $d$ هو الفارق بين كل عنصرين متتاليين في المتتابعة، و $n$ هو موقع العنصر الذي نريد حسابه.

في هذه الحالة، $a_1$ هو مجموع العناصر الأولى 62، وهو يساوي $62^2$، و $d$ هو الفارق بين كل عنصرين متتاليين في المتتابعة، والذي يساوي 63 في هذه الحالة.

لذا، يمكننا حساب العنصر الثاني والعشرون كالتالي:

الآن، نقوم بحساب القيمة:

إذاً، العنصر رقم 2008 في المتتابعة هو 126567.

لحل المسألة، نستخدم مجموع الأعداد الأولية والقوانين المتعلقة بالمتتابعات الحسابية. نتبع الخطوات التالية:

1. معرفة مجموع العناصر الأولية: نستخدم القاعدة الرياضية التي تحدد مجموع الأعداد الأولية $n$، والتي هي متسلسلة حسابية، وتُعطى بالصيغة:

   $$S_n = \frac{n(n+1)}{2}$$

   حيث $S_n$ هو مجموع الأعداد الأولية $n$.

2. حساب القيمة المطلوبة لـ $n$: نحتاج إلى معرفة أصغر قيمة لـ $n$ حيث يكون مجموع العناصر الأولية $n$ أكبر من أو يساوي 2008. لذا، نحل المعادلة التالية:

   $$\frac{n(n+1)}{2} \geq 2008$$

   ونحصل على قيمة تقريبية لـ $n$.

3. حساب العنصر المطلوب: بعد معرفة قيمة $n$، نستخدم صيغة المتتابعة الحسابية لحساب العنصر المطلوب. الصيغة هي:

   $$a_n = a_1 + (n-1)d$$

   حيث $a_n$ هو العنصر الثالث في المتتابعة، $a_1$ هو العنصر الأول، $d$ هو الفارق بين كل عنصرين متتاليين في المتتابعة، و $n$ هو موقع العنصر الذي نريد حسابه.

4. تطبيق القوانين والحسابات: بعد تحديد قيمة $n$، نستخدم الصيغة لحساب العنصر المطلوب في المتتابعة الحسابية.

5. التحقق من الإجابة: نتأكد من صحة الحسابات ونتحقق من النتيجة النهائية.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين المتعلقة بالمتتابعات الحسابية، نستطيع حل المسألة والوصول إلى الإجابة الصحيحة.