حل مسألة الكوسينوس: الزوايا المتكررة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
“ابحث عن العدد الصحيح $n$، حيث $0 \leq n \leq 180$، بحيث $\cos n^\circ = \cos 259^\circ.$”

حل المسألة:
لحل هذه المسألة، نحتاج إلى فهم بعض الخصائص الأساسية للدوال المثلثية، وتحديد كيفية استخدامها لإيجاد الحل المطلوب.

في البداية، نعلم أن الدالة الكوسينوسية متكررة بشكل دوري كل 360 درجة. بمعنى آخر، $\cos \theta = \cos (\theta \pm 360^\circ)$ لأي زاوية $\theta$.

بالنظر إلى ذلك، نستطيع استخدام الخصائص المتكررة للكوسينوس لحل المسألة.

لحل $\cos n^\circ = \cos 259^\circ$، نحتاج إلى العثور على القيمة المتكررة للكوسينوس التي تعادل $\cos 259^\circ$ وتقع ضمن النطاق $0 \leq n \leq 180$.

للوصول إلى الحل، يمكننا استخدام خاصية التكرار للدالة الكوسينوسية بعدد موجب وسالب من 360 درجة:

$\cos 259^\circ = \cos (259^\circ – 360^\circ) = \cos (-101^\circ)$

الآن، نحتاج إلى تحديد الزاوية الإيجابية المكافئة لـ $-101^\circ$ في النطاق $0 \leq n \leq 180$.

المفتاح هنا هو أن الكوسينوس دالة متماثلة حول النقطة $180^\circ$. بمعنى آخر، $\cos \theta = \cos (180^\circ – \theta)$.

لذا، $\cos (-101^\circ) = \cos (180^\circ – (-101^\circ)) = \cos (180^\circ + 101^\circ) = \cos 281^\circ$.

الآن، نحن بحاجة إلى العثور على قيمة $n$ المقابلة لـ $\cos 281^\circ$ في النطاق $0 \leq n \leq 180$.

ومن ثم، $n = 180^\circ – 281^\circ = -101^\circ$.

وبما أن الزاوية تكون موجبة، فإن الحل هو $n = 180^\circ – (-101^\circ) = 281^\circ$.

إذاً، القيمة المطلوبة للعدد الصحيح $n$ هي $281$.

لحل المسألة والوصول إلى القيمة المناسبة للعدد الصحيح $n$، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والخصائص المتعلقة بالدوال المثلثية وخصوصًا الكوسينوس. سنستخدم القوانين التالية:

1. التكرار الدوري للدوال المثلثية: الكوسينوس والساين تتكرران كل 360 درجة. هذا يعني أنه إذا كان لدينا $\cos \theta = \cos (\theta \pm 360^\circ)$ و $\sin \theta = \sin (\theta \pm 360^\circ)$.

2. التماثل حول النقطة $180^\circ$: هذه الخاصية تقول إن $\cos \theta = \cos (180^\circ – \theta)$ و $\sin \theta = \sin (180^\circ – \theta)$.

الآن، لنقم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

أولاً، نقوم بتحويل الزاوية $259^\circ$ إلى زاوية ما بين $0^\circ$ و$180^\circ$ باستخدام القاعدة الأولى. لذلك، نقوم بطرح 360 درجة حتى نحصل على زاوية في هذا النطاق:

$259^\circ – 360^\circ = -101^\circ$

ثم، باستخدام القاعدة الثانية، نعيد تحويل هذه الزاوية إلى قيمة إيجابية بحيث تكون متساوية للكوسينوس:

$\cos(-101^\circ) = \cos(180^\circ – (-101^\circ))$

$= \cos(180^\circ + 101^\circ)$

$= \cos(281^\circ)$

الآن، لدينا قيمة للكوسينوس في النطاق المطلوب $0^\circ$ إلى $180^\circ$، ونحتاج إلى تحديد الزاوية المقابلة لهذه القيمة. نستخدم العلاقة:

$n = 180^\circ – 281^\circ = -101^\circ$

ولكن نحن بحاجة إلى الزاوية الموجبة، لذا نقوم بتحويلها كالتالي:

$n = 180^\circ – (-101^\circ) = 281^\circ$

وبالتالي، الحل النهائي للمسألة هو $n = 281^\circ$.