حل مسألة الكرة في الفضاء الثلاثي (مسألة رياضيات)

نعطي بيانات المسألة على النحو التالي:

• لدينا النقطة $O$ في الأصل، ولتكن $(a, b, c)$ نقطة ثابتة.
• هناك مستوى يمر عبر $(a, b, c)$ ويتقاطع مع محور $x$، محور $y$، ومحور $z$ عند $A$، $B$، و$C$ على التوالي.
• تكون $(p, q, r)$ مركز الكرة التي تمر عبر $A$، $B$، $C$، و$O$.

لنبدأ حل المسألة:

1. أولاً، لنجد معادلة المستوى الذي يمر عبر $(a, b, c)$. إذا كان المستوى يمر عبر $(a, b, c)$، فإن معادلته يمكن كتابتها بالشكل التالي:
   $Ax + By + Cz = D$
   حيث يمكننا استخدام نقطة $(a, b, c)$ لحساب $D$. لذا المعادلة تكون:
   $Ax + By + Cz = Aa + Bb + Cc$
2. الآن، نجد معادلات الخطوط عندما تتقاطع المستوى مع كل محور. نقوم بالتعبير عن تلك الخطوط كمعادلات بسيطة:
   • لخط ال $x$، عندما $y = 0$ و $z = 0$، نحصل على $Ax = Aa$، أي $x = a$، فالنقطة $A$ هي $(a, 0, 0)$.
   • بنفس الطريقة، نجد أن $B$ هي $(0, b, 0)$ و $C$ هي $(0, 0, c)$.
3. الآن، لنجد معادلة الكرة التي تمر عبر النقاط $A$، $B$، $C$، و $O$. نستخدم الشكل العام لمعادلة الكرة:
   $(x – p)^2 + (y – q)^2 + (z – r)^2 = r^2$
   حيث $(p, q, r)$ هو مركز الكرة، و $r$ هو نصف قطرها.
4. نستخدم النقاط $A$، $B$، $C$، و $O$ لحل المعادلة. نحصل على نظام معادلات يتضمن المجاهيل $p$، $q$، و $r$.
5. بعد حساب قيم $p$، $q$، و $r$، نقوم بحساب القيمة المطلوبة $\frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{c}{r}$.

هذا هو النهج العام لحل المسألة. لتحديد الحل بالكامل، يتطلب ذلك القيام بالحسابات الرياضية بالتفصيل وحل المعادلات بدقة.

لحل المسألة المعطاة، نحتاج إلى استخدام القوانين الهندسية والجبرية، بالإضافة إلى مفاهيم الهندسة التحليلية. هنا هي الخطوات الأساسية لحل المسألة مع القوانين المستخدمة:

1. معادلة المستوى:

   • نستخدم معادلة المستوى العامة التي تمرر عبر النقطة $(a, b, c)$ ونعبر عنها بالمعادلة $Ax + By + Cz = D$.
   • قانون المستوى: يمر المستوى من خلال النقاط الثلاثة $(a, b, c)$، $(0, b, 0)$، و $(0, 0, c)$.

2. نقاط التقاطع مع المحاور:

   • استخدمنا التعبيرات المعادلاتية للتعبير عن نقاط التقاطع مع المحاور.
   • قانون المحاور: نقاط التقاطع مع المحاور تكون بمعادلات بسيطة حيث إحدى الإحداثيات تكون صفر.

3. معادلة الكرة:

   • استخدمنا معادلة الكرة العامة $(x – p)^2 + (y – q)^2 + (z – r)^2 = r^2$.
   • نقاط على الكرة: نستخدم النقاط الأربع $(a, b, c)$، $(0, b, 0)$، $(0, 0, c)$، و $(0, 0, 0)$ لتحديد المعادلة.

4. حساب مركز الكرة ونصف قطرها:

   • نحسب مركز الكرة $(p, q, r)$ ونصف قطر الكرة.
   • نستخدم قوانين هندسية وجبرية لحساب مركز الكرة ونصف قطرها بناءً على النقاط الأربع.

5. حساب القيمة المطلوبة:

   • بعد حساب قيم $p$، $q$، و $r$، نقوم بحساب القيمة المطلوبة $\frac{a}{p} + \frac{b}{q} + \frac{c}{r}$.
   • قوانين الجبر: نقوم بالتعبير عن القيم المطلوبة بالتناسب المعكوس بين المقاسات.

الحل يشمل مجموعة متنوعة من القوانين والمفاهيم الرياضية، بما في ذلك معادلات المستوى والكرة، ونقاط التقاطع مع المحاور، وحساب المسافات والنسب. لحسن الحظ، هذه القوانين والمفاهيم تعمم على مجموعة واسعة من المسائل الهندسية والجبرية، مما يجعلها مفيدة في حل العديد من المسائل الرياضية المختلفة.