حل مسألة القطار والرجل (مسألة رياضيات)

المسألة الحسابية:

قطار رصاصي طوله 120 مترًا يسير بسرعة 50 كيلومترًا في الساعة. في كم من الوقت سيتجاوز رجل يجري بسرعة 4 كيلومترات في الساعة في الاتجاه المعاكس لاتجاه القطار؟

الحل:

لنحسب السرعة النسبية بين القطار والرجل، حيث يتجهان في اتجاهين معاكسين. السرعة النسبية تكون مجموع السرعتين، لذا:

سرعة القطار النسبية = سرعة القطار + سرعة الرجل
سرعة القطار النسبية = (50 كم/س) + (4 كم/س) = 54 كم/س

لتحويل السرعة إلى متر في الثانية (لضمان وحدات متسقة):

54 كم/س = 54 * (1000 م / 1 كم) * (1 س / 3600 س) ≈ 15 م/ث

الآن، يمكننا استخدام المعادلة التالية لحساب الزمن الذي يستغرقه القطار لتجاوز الرجل:

المسافة = السرعة × الزمن

120 م = 15 م/ث × الزمن

الزمن = 120 م / 15 م/ث = 8 ثواني

إذاً، يحتاج القطار إلى 8 ثوانٍ لتجاوز الرجل الجاري في الاتجاه المعاكس.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر، نستخدم قوانين حركة المواد ونطبق المبادئ الفيزيائية. في هذه المسألة، نتعامل مع حركتين متعامدتين: حركة القطار وحركة الرجل.

القانون الأساسي الذي سنستخدمه هو:

$\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

أولاً، نحسب السرعة النسبية بين القطار والرجل. في هذه الحالة، حيث يتحركان في اتجاهين معاكسين، نجمع سرعة القطار وسرعة الرجل:

$\text{سرعة القطار النسبية} = \text{سرعة القطار} + \text{سرعة الرجل}$

$\text{سرعة القطار النسبية} = 50 \, \text{كم/س} + 4 \, \text{كم/س} = 54 \, \text{كم/س}$

الآن، نحتاج إلى تحويل هذه السرعة إلى وحدة السرعة في النظام الدولي (متر/ثانية) لتوحيد الوحدات. نعلم أن 1 كيلومتر يساوي 1000 متر، و1 ساعة تحتوي على 3600 ثانية:

$\text{سرعة القطار النسبية} = 54 \, \text{كم/س} \times \frac{1000 \, \text{م}}{1 \, \text{كم}} \times \frac{1 \, \text{س}}{3600 \, \text{س}} \approx 15 \, \text{م/ث}$

الآن، نستخدم المعادلة الأساسية المذكورة أعلاه لحساب الزمن. نعلم أن المسافة التي يقطعها القطار هي طوله الإجمالي البالغ 120 مترًا:

$\text{المسافة} = \text{سرعة القطار النسبية} \times \text{الزمن}$

$120 \, \text{م} = 15 \, \text{م/ث} \times \text{الزمن}$

نقوم بحساب الزمن:

$\text{الزمن} = \frac{120 \, \text{م}}{15 \, \text{م/ث}} = 8 \, \text{ثواني}$

تم استخدام قانون المسافة والزمن في حل المسألة، وكذلك قوانين تحويل الوحدات للسرعة.