حل مسألة القط والفأر: حساب سرعة الفأر (مسألة رياضيات)

المسألة:

قط يطارد فأرًا بعد مرور 6 ساعات من هروب الفأر. يستغرق القط 4 ساعات للوصول إلى الفأر. إذا كانت السرعة المتوسطة للقط 90 كم/ساعة، فما هي السرعة المتوسطة للفأر؟

الحل:

لنفترض أن المسافة بين القط والفأر تكون “د” (بالكيلومتر)، ولنستخدم المعادلة التالية:

$\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

نعلم أن القط استغرق 4 ساعات للوصول إلى الفأر، لذلك:

$\text{سرعة القط} = \frac{د}{4}$

ونعلم أيضاً أن القط بدأ يطارد الفأر بعد 6 ساعات من هروبه، لذا الزمن الذي قطعه الفأر قبل أن يبدأ القط في المطاردة هو 6 ساعات.

$\text{المسافة التي قطعها الفأر قبل أن يبدأ القط في المطاردة} = 6 \times \text{سرعة القط}$

المسافة التي تبقى للقط ليصل إلى الفأر بعد 6 ساعات هي “د” نفسها.

$\text{المسافة التي تبقى للقط بعد 6 ساعات} = د$

المسافة الإجمالية التي قطعها الفأر هي مجموع المسافتين المذكورتين أعلاه.

$\text{المسافة الإجمالية التي قطعها الفأر} = \text{المسافة التي قطعها الفأر قبل أن يبدأ القط في المطاردة} + \text{المسافة التي تبقى للقط بعد 6 ساعات}$

$\text{المسافة الإجمالية التي قطعها الفأر} = 6 \times \text{سرعة القط} + د$

وبما أن السرعة المتوسطة تعرف بالمسافة المقسومة على الزمن، نستخدم المعلومات المذكورة في السؤال لحساب سرعة الفأر.

$\text{سرعة الفأر} = \frac{\text{المسافة الإجمالية التي قطعها الفأر}}{\text{الزمن الكلي}}$

والزمن الكلي هو الوقت الذي استغرقه الفأر للهروب قبل أن يبدأ القط في المطاردة، وهو 6 ساعات، بالإضافة إلى الوقت الذي استغرقه القط للوصول إلى الفأر بمدة 4 ساعات.

$\text{الزمن الكلي} = 6 + 4$

بعد حساب الزمن الكلي، يمكننا استخدام المعادلة السابقة لحساب سرعة الفأر.

الزمن الكلي = $6 + 4 = 10$ ساعات

$\text{سرعة الفأر} = \frac{6 \times \text{سرعة القط} + د}{\text{الزمن الكلي}}$

ومن المعروف أن سرعة القط ($\text{س}$) هي $90$ كم/ساعة.

$\text{سرعة الفأر} = \frac{6 \times 90 + د}{10}$

$\text{سرعة الفأر} = \frac{540 + د}{10}$

الآن نعلم أن القط استغرق 4 ساعات للوصول إلى الفأر، لذلك يمكننا استخدام معادلة السرعة لحساب المسافة ($د$).

$\text{سرعة القط} = \frac{د}{4}$

$90 = \frac{د}{4}$

$د = 360$ كم

الآن نستخدم قيمة $د$ في معادلة سرعة الفأر.

$\text{سرعة الفأر} = \frac{540 + 360}{10}$

$\text{سرعة الفأر} = \frac{900}{10}$

$\text{سرعة الفأر} = 90$ كم/ساعة

إذاً، سرعة الفأر هي $90$ كم/ساعة.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم السرعة والمسافة، ونستخدم القوانين الأساسية المتعلقة بهذين المفهومين. القوانين المستخدمة هي:

1. العلاقة بين السرعة والمسافة والزمن:
   $\text{السرعة} = \frac{\text{المسافة}}{\text{الزمن}}$

2. مسافة = سرعة × زمن:
   $\text{المسافة} = \text{السرعة} \times \text{الزمن}$

الآن دعونا نقوم بتوسيع الحل:

1. القط استغرق 4 ساعات للوصول إلى الفأر، وبما أننا نعلم أن السرعة هي المسافة المقسومة على الزمن، فإن سرعة القط ($س$) هي:
   $س = \frac{د}{4}$
   حيث $د$ هي المسافة التي قطعها القط.

2. الفأر هرب لمدة 6 ساعات قبل أن يبدأ القط في المطاردة، لذا المسافة التي قطعها الفأر قبل أن يبدأ القط في المطاردة هي:
   $\text{المسافة التي قطعها الفأر قبل المطاردة} = 6 \times س$

3. المسافة التي تبقى للقط ليصل إلى الفأر بعد 6 ساعات هي المسافة $د$ نفسها.

4. المسافة الإجمالية التي قطعها الفأر هي مجموع المسافتين السابقتين:
   $\text{المسافة الإجمالية} = \text{المسافة قبل المطاردة} + \text{المسافة بعد المطاردة}$

5. الزمن الكلي الذي استغرقه الفأر للهروب والقط للوصول إليه هو:
   $\text{الزمن الكلي} = 6 + 4$

6. السرعة المتوسطة للفأر تحسب باستخدام العلاقة بين المسافة والزمن:
   $\text{سرعة الفأر} = \frac{\text{المسافة الإجمالية}}{\text{الزمن الكلي}}$

بعد حساب الزمن الكلي، يمكننا استخدام العلاقات السابقة لحساب سرعة الفأر.