عند قسمة أربعة أعداد صحيحة إيجابية على 11، فإن الباقين هم 2، 4، 6، وX على التوالي.
عند قسم مجموع الأربعة أعداد على 11، ما هو الباقي؟
إذا كانت الإجابة على السؤال السابق هي 9، فما هي قيمة المتغير المجهول X؟
الحل:
لنقم بتمثيل الأعداد الأربعة بالترتيب بواسطة و . حيث يكون باقي قسمة كل عدد على 11 كالتالي:
a_1 \mod 11 &= 2 \\
a_2 \mod 11 &= 4 \\
a_3 \mod 11 &= 6 \\
a_4 \mod 11 &= X \\
\end{align*} \] نعلم أن إجابة سؤال القسمة لمجموع الأعداد هي 9، لذا:
\[ (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 = 9 \] نقوم بجمع الأعداد وتمثيلها بالمجموع \( S \):
\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \] وباستخدام القسمة المتكررة، نحسب الباقي عند قسمة \( S \) على 11:
\[ S \mod 11 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 \] لكن لدينا أن \( S \mod 11 = 9 \)، لذا:
\[ 9 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 \] الآن نقوم بتوحيد المعادلات، حيث نستبدل الباقين المعروفين:
\[ 9 = (2 + 4 + 6 + X) \mod 11 \] نقوم بجمع الأعداد على اليمين:
\[ 9 = (12 + X) \mod 11 \] ثم نقوم بتبسيط الجمع:
\[ 9 = X \mod 11 \] إذاً، الباقي عند قسمة X على 11 هو 9.
a_2 \mod 11 &= 4 \\
a_3 \mod 11 &= 6 \\
a_4 \mod 11 &= X \\
\end{align*} \] نعلم أن إجابة سؤال القسمة لمجموع الأعداد هي 9، لذا:
\[ (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 = 9 \] نقوم بجمع الأعداد وتمثيلها بالمجموع \( S \):
\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \] وباستخدام القسمة المتكررة، نحسب الباقي عند قسمة \( S \) على 11:
\[ S \mod 11 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 \] لكن لدينا أن \( S \mod 11 = 9 \)، لذا:
\[ 9 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 \] الآن نقوم بتوحيد المعادلات، حيث نستبدل الباقين المعروفين:
\[ 9 = (2 + 4 + 6 + X) \mod 11 \] نقوم بجمع الأعداد على اليمين:
\[ 9 = (12 + X) \mod 11 \] ثم نقوم بتبسيط الجمع:
\[ 9 = X \mod 11 \] إذاً، الباقي عند قسمة X على 11 هو 9.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، سنستخدم قاعدة القسمة وقاعدة جمع الباقين. دعونا نستعرض الخطوات بتفصيل:
المعطيات:
- عند قسم أربعة أعداد صحيحة إيجابية على 11، الباقين هي 2، 4، 6، وX على التوالي.
- عند قسم مجموع الأربعة أعداد على 11، الباقي هو 9.
نمثل الأعداد بشكل علمي:
لنقم بتمثيل الأعداد الأربعة بالترتيب بواسطة و . حيث يكون باقي قسمة كل عدد على 11 كالتالي:
a_1 \mod 11 &= 2 \\
a_2 \mod 11 &= 4 \\
a_3 \mod 11 &= 6 \\
a_4 \mod 11 &= X \\
\end{align*} \] نعلم أن إجابة سؤال القسمة لمجموع الأعداد هي 9، لذا:
\[ (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 = 9 \] نقوم بجمع الأعداد وتمثيلها بالمجموع \( S \):
\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \] ثم نستخدم القاعدة التالية: إذا كانت \( x \mod m = a \) و \( y \mod m = b \)، فإن \( (x + y) \mod m = (a + b) \mod m \). يمكننا استخدام هذه القاعدة للتعبير عن مجموع الأعداد:
\[ S \mod 11 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 \] لكن لدينا أن \( S \mod 11 = 9 \)، لذا:
\[ 9 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 \] الآن نقوم بتوحيد المعادلات، حيث نستبدل الباقين المعروفين ونقوم بجمع الأعداد:
\[ 9 = (2 + 4 + 6 + X) \mod 11 \] ثم نقوم بتبسيط الجمع:
\[ 9 = (12 + X) \mod 11 \] باستخدام القاعدة التي تقول إذا كان \( x \mod m = a \)، فإن \( x \mod m = (a + km) \) حيث \( k \) عدد صحيح، يمكننا إعادة صياغة المعادلة كالتالي:
\[ 9 = X \mod 11 \] إذاً، الباقي عند قسمة X على 11 هو 9.
تلخيص القوانين المستخدمة:
1. قاعدة القسمة: إذا كان \( x \mod m = a \)، فإن \( x \mod m = (a + km) \) حيث \( k \) عدد صحيح.
2. قاعدة جمع الباقين: إذا كانت \( x \mod m = a \) و \( y \mod m = b \)، فإن \( (x + y) \mod m = (a + b) \mod m \).
a_2 \mod 11 &= 4 \\
a_3 \mod 11 &= 6 \\
a_4 \mod 11 &= X \\
\end{align*} \] نعلم أن إجابة سؤال القسمة لمجموع الأعداد هي 9، لذا:
\[ (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 = 9 \] نقوم بجمع الأعداد وتمثيلها بالمجموع \( S \):
\[ S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 \] ثم نستخدم القاعدة التالية: إذا كانت \( x \mod m = a \) و \( y \mod m = b \)، فإن \( (x + y) \mod m = (a + b) \mod m \). يمكننا استخدام هذه القاعدة للتعبير عن مجموع الأعداد:
\[ S \mod 11 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 \] لكن لدينا أن \( S \mod 11 = 9 \)، لذا:
\[ 9 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 \] الآن نقوم بتوحيد المعادلات، حيث نستبدل الباقين المعروفين ونقوم بجمع الأعداد:
\[ 9 = (2 + 4 + 6 + X) \mod 11 \] ثم نقوم بتبسيط الجمع:
\[ 9 = (12 + X) \mod 11 \] باستخدام القاعدة التي تقول إذا كان \( x \mod m = a \)، فإن \( x \mod m = (a + km) \) حيث \( k \) عدد صحيح، يمكننا إعادة صياغة المعادلة كالتالي:
\[ 9 = X \mod 11 \] إذاً، الباقي عند قسمة X على 11 هو 9.
تلخيص القوانين المستخدمة:
1. قاعدة القسمة: إذا كان \( x \mod m = a \)، فإن \( x \mod m = (a + km) \) حيث \( k \) عدد صحيح.
2. قاعدة جمع الباقين: إذا كانت \( x \mod m = a \) و \( y \mod m = b \)، فإن \( (x + y) \mod m = (a + b) \mod m \).