حل مسألة القسمة على 11 باستخدام الجبر (مسألة رياضيات)

عندما يتم قسم أربعة أعداد صحيحة إيجابية على 11، تكون باقيات القسمة هي 2، 4، 6، و8 على التوالي. الآن، إذا تم قسم مجموع هذه الأربعة أعداد على 11، فما هو باقي القسمة؟

لنقم بتعبير الأعداد الأربعة بشكل علمي، فلنكن هذه الأعداد بالترتيب: $a_1$، $a_2$، $a_3$، و $a_4$.

إذاً، نعلم أن:

$a_1 \equiv 2 \pmod{11}$
$a_2 \equiv 4 \pmod{11}$
$a_3 \equiv 6 \pmod{11}$
$a_4 \equiv 8 \pmod{11}$

الآن، نقوم بجمع هذه الأعداد:

$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$

ثم نقوم بقسم مجموع الأعداد على 11:

$S \equiv (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \pmod{11}$

نستخدم الخواص الجبرية لباقي القسمة على جمع الأعداد:

$S \equiv (a_1 \pmod{11}) + (a_2 \pmod{11}) + (a_3 \pmod{11}) + (a_4 \pmod{11}) \pmod{11}$

ونستبدل قيم باقيات الأعداد ونقوم بالحساب:

$S \equiv (2) + (4) + (6) + (8) \pmod{11}$

$S \equiv 20 \pmod{11}$

الآن، نقوم بتقسيم 20 على 11 للعثور على الباقي:

$S \equiv 20 \equiv 9 \pmod{11}$

لذا، عندما يتم قسم مجموع الأعداد على 11، الباقي هو 9.

لنقم بحل المسألة بشكل أكثر تفصيلاً، نستخدم قوانين الجبر وخواص باقي القسمة.

لنعبر عن الأعداد الأربعة بشكل علمي، فلنكن $a_1$، $a_2$، $a_3$، و $a_4$ هي الأعداد المطلوبة. نعلم أن:

$a_1 \equiv 2 \pmod{11}$
$a_2 \equiv 4 \pmod{11}$
$a_3 \equiv 6 \pmod{11}$
$a_4 \equiv 8 \pmod{11}$

الآن، نقوم بجمع هذه الأعداد للحصول على مجموع الأعداد ($S$):

$S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4$

ثم نقوم بتعبير مجموع الأعداد ($S$) بشكل موحد باستخدام القوانين:

$S \equiv (a_1 \pmod{11}) + (a_2 \pmod{11}) + (a_3 \pmod{11}) + (a_4 \pmod{11}) \pmod{11}$

نستبدل قيم باقيات الأعداد بالقيم المعطاة ونواصل الحساب:

$S \equiv (2) + (4) + (6) + (8) \pmod{11}$

$S \equiv 20 \pmod{11}$

الخطوة الأخيرة هي حساب الباقي عند قسم 20 على 11:

$S \equiv 20 \equiv 9 \pmod{11}$

لذا، باستخدام قوانين الجبر وخواص باقي القسمة، تم الوصول إلى أن باقي قسمة مجموع الأعداد على 11 هو 9.