حل مسألة القسمة بالباقي: تطبيق عملي (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
ما هو أصغر عدد صحيح موجب $n$ بحيث يكون $3n \equiv 1356 \pmod{22}$؟

حل المسألة:
لحل هذه المسألة، سنستخدم الخوارزمية الرياضية لحساب العدد $n$ الذي يحقق الشرط المعطى. يُعتبر الهدف هو العثور على أصغر عدد صحيح $n$ يجعل $3n$ متطابقاً مع $1356$ عندما نقسم على $22$، أي أن يكون لدينا $3n \equiv 1356 \pmod{22}$.

لحل هذه المعادلة، يمكننا أولاً تحديد ما إذا كانت القيمتين متطابقتين فيما يتعلق بالباقي عند القسمة على $22$. نقوم بحساب باقي القسمة على $22$ للعدد $1356$، وهو $2$، ومن ثم نحسب باقي القسمة على $22$ للعدد $3$ وهو $3$.

الآن، نحتاج إلى البحث عن عدد يضاعف $3$ بحيث يكون الباقي عند القسمة على $22$ يتطابق مع الباقي للعدد $1356$.

لحساب العدد المطلوب، يمكننا استخدام خوارزمية التجريب والخطأ. نبدأ بتجريب الأعداد الصحيحة الموجبة للعثور على العدد المطلوب. نبدأ بتجربة الأعداد من الصغيرة إلى الكبيرة حتى نجد العدد الذي يحقق الشرط.

أولاً، نضرب العدد $3$ في الأعداد التالية $1, 2, 3, …$ حتى نجد عدداً يكون باقي قسمته على $22$ يساوي $2$، الذي هو الباقي المتوقع من قسمة $1356$ على $22$.

سنقوم بالتجربة:
$3 \times 1 = 3$، الباقي عند القسمة على $22$ هو $3$.
$3 \times 2 = 6$، الباقي عند القسمة على $22$ هو $6$.
$3 \times 3 = 9$، الباقي عند القسمة على $22$ هو $9$.
$3 \times 4 = 12$، الباقي عند القسمة على $22$ هو $12$.
$3 \times 5 = 15$، الباقي عند القسمة على $22$ هو $15$.
$3 \times 6 = 18$، الباقي عند القسمة على $22$ هو $18$.
$3 \times 7 = 21$، الباقي عند القسمة على $22$ هو $21$.
$3 \times 8 = 24$، الباقي عند القسمة على $22$ هو $2$.

هنا وجدنا أن $3 \times 8 = 24$ يساوي $2$ عند القسمة على $22$، وهو الباقي المتوقع من قسمة $1356$ على $22$.

لذلك، العدد الصحيح $n$ هو $8$، وهو أصغر عدد صحيح يحقق الشرط المطلوب.

لحل المسألة التي تطلب إيجاد أصغر عدد صحيح موجب $n$ بحيث يكون $3n \equiv 1356 \pmod{22}$، سنستخدم مفهوم العمليات الحسابية في الجبر المتقدم وسنعتمد على قوانين الحساب العددي والتحويلات المعادلاتية المتوافقة مع الخوارزميات المتبعة لحل هذا النوع من المسائل.

أولاً وقبل الخوض في التفاصيل، نحتاج إلى فهم بعض القوانين والمفاهيم المستخدمة في الجبر والحساب العددي:

1. المتباينات المتكافئة: إذا كانت لدينا معادلة $a \equiv b \pmod{m}$، فإنه يمكننا إضافة أو طرح أو ضرب الأعداد $a$ و $b$ بشكل متساوٍ على حد سواء من قبل $m$ دون تغيير نتيجة المعادلة.
2. ضرب وجمع الزوجين: إذا كانت لدينا معادلة $a \equiv b \pmod{m}$ و $c \equiv d \pmod{m}$، فإنه يمكننا جمع الأعداد $a$ و $c$ وضربها بشكل متساوٍ، والقيام بنفس العملية مع $b$ و $d$، دون تغيير في المتطابقة.
3. خوارزمية التجريب والخطأ: هذه الخوارزمية تستخدم لحل المسائل بالتجريب عدة مرات حتى يتم الوصول إلى الحل الصحيح.

الآن، لحل المسألة، نبدأ بتجريب الأعداد الموجبة للعثور على العدد $n$ الذي يحقق الشرط المطلوب. نريد أن نجد عددًا يضاعف $3$ بحيث يكون الباقي عند قسمته على $22$ يتطابق مع الباقي للعدد $1356$ عند قسمته على $22$.

بعد القيام بالتجربة، وجدنا أن $3 \times 8 = 24$ يساوي $2$ عند القسمة على $22$، وهو الباقي المتوقع من قسمة $1356$ على $22$.

لذلك، العدد الصحيح $n$ هو $8$، وهو أصغر عدد صحيح يحقق الشرط المطلوب.