حل مسألة العمل المشترك والمستقل (مسألة رياضيات)

العاملان أ و ب يستطيعان إكمال عمل ما في 40 يومًا. عملا معًا لمدة 10 أيام، ثم غادر ب، وبعد 15 يومًا آخرين، أكمل أ عمل الباقي. ما هو الوقت الذي يحتاجه العامل أ وحده لإكمال العمل؟

لنقم بتحويل هذه المعلومات إلى معادلة رياضية. إذا كانت سرعة العامل أ تمثل بـ (عدد الوحدات من العمل في اليوم) وسرعة العامل ب تمثل بنفس الطريقة، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{40}$

عمل العاملان معًا لمدة 10 أيام، لذا العمل الذي أنجزوه خلال هذه الفترة يمثل جزءًا من العمل الإجمالي:

$10(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$

ثم عمل العامل أ بمفرده لمدة 15 يومًا، وهو ما يمثل الجزء الآخر من العمل:

$15 \times \frac{1}{a}$

إذاً، العمل الإجمالي يساوي الوحدة الواحدة:

$10(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 15 \times \frac{1}{a} = 1$

الآن، يمكننا حساب قيمة $a$ باستخدام هذه المعادلة. بعد الحسابات، يتبين أن $a = 30$، وبالتالي يحتاج العامل أ وحده لإكمال العمل في 30 يومًا.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على مفهوم العمل وسرعة العمل. دعونا نركز على القوانين والمعادلات التي نستخدمها.

فلنعتبر أن سرعة العامل أ هي $a$ وسرعة العامل ب هي $b$، حيث يتم قياس السرعة بوحدة العمل في اليوم.

أولاً، نعتبر أن العاملين يعملان معًا لمدة 10 أيام، وفي هذه الفترة يتم إنجاز جزء من العمل. القانون الذي نستخدمه هو قانون العمل المشترك، الذي يقول:

$\text{سرعة العمل المشتركة} = \text{سرعة العامل أ} + \text{سرعة العامل ب}$

ومن ثم، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$10(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})$

ثم بعد ذلك، يترك العامل ب والعامل أن يعمل العامل أ بمفرده لمدة 15 يومًا، وفي هذه الفترة يتم إكمال الجزء الباقي من العمل. القانون المستخدم هنا هو قانون العمل المستقل، الذي يقول:

$\text{العمل المستقل} = \text{سرعة العامل} \times \text{الزمن}$

ومن ثم، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$15 \times \frac{1}{a}$

وأخيراً، يتم إكمال العمل بالكامل، لذلك يجب أن يكون مجموع العمل الذي قام به العاملون يساوي العمل الإجمالي. لدينا المعادلة:

$10(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) + 15 \times \frac{1}{a} = 1$

باستخدام هذه المعادلات، يمكننا حل لقيمة $a$ ومن ثم العثور على الزمن الذي يحتاجه العامل أ وحده لإكمال العمل.