حل مسألة: العلاقة بين الأعداد المركبة (مسألة رياضيات)

إذا كانت $wz = 12-8i$ و $|w| = \sqrt{13}$، فما قيمة $|z|$؟

لنبدأ بفك المعادلة $wz = 12-8i$، ونقوم بتعريف $w = a + bi$ و $z = c + di$ حيث $a$ و $b$ و $c$ و $d$ هي أعداد حقيقية.

ذلك يعني:

وبالتوسيع، نحصل على:

ومن المقارنة بين الأجزاء الحقيقية والخيالية، نحصل على نظام مكوّن من معادلتين:

الآن، نعلم أن $|w| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{13}$.

ونعلم أيضًا أن $|wz| = |w| \cdot |z|$. إذاً، $|wz| = |12 – 8i| = \sqrt{12^2 + (-8)^2} = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208}$.

ولكن $|wz| = |w| \cdot |z| = \sqrt{13} \cdot |z|$.

وبالتالي، نحصل على:

من هنا، يمكننا حساب $|z|$ كالتالي:

إذاً، قيمة $|z|$ هي 4.

لحل المسألة، بدأنا بتعريف الأعداد المركبة $w$ و $z$ بالشكل $w = a + bi$ و $z = c + di$ حيث $a$ و $b$ و $c$ و $d$ هي أعداد حقيقية. ثم استخدمنا خصائص الأعداد المركبة والمطلوبة لحل المسألة.

أولاً، استخدمنا القانون الأساسي لضرب الأعداد المركبة، الذي يقول إنه عند ضرب عددين مركبين، يمكن توسيع الضرب بطريقة موزونة للأجزاء الحقيقية والخيالية.

ثانيًا، استخدمنا قانون حساب القيم المطلقة للأعداد المركبة، الذي يقول إن قيمة العدد المركب $|wz|$ تساوي حاصل ضرب قيمة العددين المطلقة $|w|$ و $|z|$.

باستخدام هذه القوانين والخصائص، قمنا بفك المعادلة إلى نظام معادلات، ومن ثم حل النظام للعثور على قيمة $|z|$.

هذا الحل يعتمد بشكل أساسي على فهم الخصائص الأساسية للأعداد المركبة والعمليات الرياضية المتعلقة بها، مثل الجمع، والطرح، والضرب، وحساب القيم المطلقة. وتحتاج أيضًا إلى معرفة كيفية استخدام هذه الخصائص في حل المسائل الرياضية التي تنطوي على الأعداد المركبة.