حل مسألة العامل الأولي الكبير (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة هي البحث عن أكبر عامل أولي للتعبير:

$15^4 + 2 \times 15^2 + 1 – 14^4$

لحل هذه المسألة، يمكننا بدايةً فحص العبارة بحثًا عن تبسيطها. يتيح لنا اكتشاف أن هذا التعبير يمكن تقسيمه إلى جزئين:

1. $15^4 + 1$
2. $2 \times 15^2 – 14^4$

لنقم بتحليل كل جزء بشكل منفصل.

الجزء الأول: $15^4 + 1$
هذا يعبّر عن مربع فارغ مثلثي، حيث يمكن تعبيره بصورة عامة بالصيغة $(a^2 + b)^2$ حيث $a = 15^2$ و $b = 1$. لذلك:

$15^4 + 1 = (15^2 + 1)^2 – 2 \times 15^2$

الآن يمكننا البساطة في العبارة الكاملة:

$15^4 + 2 \times 15^2 + 1 – 14^4 = (15^2 + 1)^2 – 2 \times 15^2 + 2 \times 15^2 – 14^4$

نقوم بتجميع الأجزاء المتشابهة:

$(15^2 + 1)^2 – 14^4$

الجزء الثاني: $2 \times 15^2 – 14^4$
نستخدم العلاقة:

$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

حيث $a = 15^2$ و $b = 14^2$:

$2 \times 15^2 – 14^4 = 2 \times (15^2 – 14^2) = 2 \times (15 + 14)(15 – 14)$

الآن نستطيع البساطة في العبارة الكاملة:

$(15 + 14)(15 – 14)(15^2 + 1 – 14^2)$

نقوم بتحليل الجزء الأخير باستخدام العلاقة:

$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

حيث $a = 15^2$ و $b = 14^2$:

$15^2 + 1 – 14^2 = (15 + 14)(15 – 14)$

الآن يمكننا تكوين العبارة بشكل نهائي:

$(15 + 14)(15 – 14)(15 + 14)(15 – 14)$

نقوم بتجميع الأجزاء المتشابهة:

$(15 + 14)^2 \times (15 – 14)^2$

الآن نستخدم العلاقة:

$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

حيث $a = 15 + 14$ و $b = 15 – 14$:

$(15 + 14)^2 \times (15 – 14)^2 = ((15 + 14) + (15 – 14)) \times ((15 + 14) – (15 – 14))$

الآن نقوم بالتبسيط:

$(29) \times (29)$

الإجابة النهائية:

$29^2$

الآن، يتعين علينا البحث عن أكبر عامل أولي لهذا التعبير. يتضح أن $29$ هو عدد أولي، لذا الإجابة النهائية هي:

$29$

لحل هذه المسألة، دعونا نستعرض الخطوات بمزيد من التفاصيل ونشرح القوانين التي تم استخدامها.

المسألة هي البحث عن أكبر عامل أولي للتعبير:

$15^4 + 2 \times 15^2 + 1 – 14^4$

أولاً وقبل البدء في التحليل، نقوم بتجميع الأعداد المتشابهة. في هذه الحالة، يمكننا تقسيم التعبير إلى جزئين:

1. $15^4 + 1$
2. $2 \times 15^2 – 14^4$

الآن نبدأ بتحليل الجزء الأول: $15^4 + 1$

نستخدم القاعدة الرياضية $a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab$ حيث $a = 15^2$ و $b = 1$:

$15^4 + 1 = (15^2 + 1)^2 – 2 \times 15^2$

الآن يمكننا تجميع الأجزاء:

$15^4 + 1 – 2 \times 15^2 = (15^2 + 1)^2 – 2 \times 15^2 + 2 \times 15^2 – 14^4$

نقوم بتجميع الأجزاء المتشابهة:

$(15^2 + 1)^2 – 14^4$

الآن نتعامل مع الجزء الثاني: $2 \times 15^2 – 14^4$

نستخدم الفرق بين مربعين:

$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

حيث $a = 15^2$ و $b = 14^2$:

$2 \times 15^2 – 14^4 = 2 \times (15^2 – 14^2) = 2 \times (15 + 14)(15 – 14)$

الآن يمكننا تجميع الأجزاء:

$(15 + 14)(15 – 14)(15^2 + 1 – 14^2)$

نقوم بتحليل الجزء الأخير باستخدام الفرق بين مربعين:

$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

حيث $a = 15^2$ و $b = 14^2$:

$15^2 + 1 – 14^2 = (15 + 14)(15 – 14)$

الآن يمكننا تكوين العبارة بشكل نهائي:

$(15 + 14)(15 – 14)(15 + 14)(15 – 14)$

نقوم بتجميع الأجزاء المتشابهة:

$(15 + 14)^2 \times (15 – 14)^2$

الآن نستخدم الفرق بين مربعين:

$a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

حيث $a = 15 + 14$ و $b = 15 – 14$:

$(15 + 14)^2 \times (15 – 14)^2 = ((15 + 14) + (15 – 14)) \times ((15 + 14) – (15 – 14))$

الآن نقوم بالتبسيط:

$(29) \times (29)$

الإجابة النهائية:

$29^2$

القوانين المستخدمة في هذا الحل تشمل:

1. قاعدة تجميع المربع الكامل: $a^2 + b^2 = (a + b)^2 – 2ab$
2. فرق بين مربعين: $a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)$

تم استخدام هذه القوانين لتبسيط التعبير وتحليله بشكل فعّال.