حل مسألة: الظل والجيب لزوايا متعددة (مسألة رياضيات)

إذا كانت الظل الزاوية (tangent) لزاوية $\theta$ يساوي 4، فما هو الظل لزاوية $3\theta$؟

لنبدأ بحل المسألة:

لدينا الظل الزاوية $\theta = 4$. يعني هذا أن النسبة بين الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها في المثلث المقابل للزاوية $\theta$ يساوي 4.

الآن، لنستخدم الهوية التالية للظل:

$\tan(3\theta) = \frac{\sin(3\theta)}{\cos(3\theta)}$

وهناك تعبيرات معروفة للجيب والظلال للزوايا المزدوجة والثلاثية:

$\sin(3\theta) = 3 \sin(\theta) – 4 \sin^3(\theta)$
$\cos(3\theta) = 4 \cos^3(\theta) – 3 \cos(\theta)$

بما أننا نعلم أن $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$ ونعرف أيضًا أن القيمة الزاوية $\theta$ هي 4، فسنحل لهذه القيمة ثم نقوم بحساب القيمة النهائية لـ $3\theta$.

لكن قبل ذلك، لنقوم بحساب قيم $\sin(\theta)$ و $\cos(\theta)$. سنستخدم الهوية التالية:

$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \Rightarrow \sin(\theta) = 4\cos(\theta)$

الآن، نستخدم هذه القيم في الهويات الثلاثية:

$\sin(3\theta) = 3(4\cos(\theta)) – 4(4\cos(\theta))^3$
$\cos(3\theta) = 4(4\cos(\theta))^3 – 3(4\cos(\theta))$

الآن، نستطيع حساب قيمة $\tan(3\theta)$ باستخدام النسبة بين قيمة $\sin(3\theta)$ و $\cos(3\theta)$.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكثر وذلك باستخدام القوانين الأساسية للظل والجيب والتمام في الرياضيات الزاوية، مع التركيز على قوانين الظل والجيب والتمام لزوايا متعددة.

المعطيات:
معطيات المسألة هي أن الظل ($\tan$) لزاوية $\theta$ هو 4.

الأولويات:

1. حساب قيمة الجيب ($\cos$) والظل ($\sin$) لزاوية $\theta$.
2. استخدام هويات الظل والجيب للزوايا المتعددة لحساب قيم $\tan(3\theta)$.

الخطوات:

1. حساب قيم $\cos$ و $\sin$ للزاوية $\theta$:
   يُعطى في السؤال أن $\tan(\theta) = 4$. لنحسب $\cos(\theta)$ و $\sin(\theta)$.

   يُعرف $\tan(\theta)$ كنسبة بين طول الضلع المقابل للزاوية والضلع المجاور لها، لذا:
   $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = 4$

   بمعالجة النسبة، نجد أن $\sin(\theta) = 4\cos(\theta)$.

   لاستخدام الهويات الثلاثية للزاويا، يتعين علينا معرفة قيم $\cos(\theta)$ و $\sin(\theta)$.

2. استخدام هويات الزوايا المتعددة لحساب $\tan(3\theta)$:
   نستخدم الهويات التالية:

   • $\sin(3\theta) = 3\sin(\theta) – 4\sin^3(\theta)$
   • $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) – 3\cos(\theta)$

   نعرف قيم $\cos(\theta)$ و $\sin(\theta)$ من الخطوة السابقة، ثم نستخدمها في الهويات لحساب $\sin(3\theta)$ و $\cos(3\theta)$.

3. حساب $\tan(3\theta)$:
   نستخدم القيم المحسوبة لـ $\sin(3\theta)$ و $\cos(3\theta)$ لحساب الظل ($\tan$) لزاوية $3\theta$، وذلك باستخدام النسبة بين $\sin(3\theta)$ و $\cos(3\theta)$.

قوانين الظل والجيب والتمام والهويات الثلاثية تُستخدم بالتسلسل المنطقي لحل المسألة، مما يمكننا من استنتاج قيم $\tan(3\theta)$ بناءً على البيانات المعطاة.