حل مسألة الضرب الزوجي للأعداد الأولية

المسألة تتعلق ببرمجة حاسوب لضرب الأعداد الزوجية المتتالية (2 * 4 * 6 * 8 * … * n) حتى يكون الناتج قابلاً للقسمة على 1881. الهدف هو حساب قيمة n.

لنقم بحساب القيمة المطلوبة:

نبدأ بفهم كيفية تكوين العدد المطلوب، وهو ضرب الأعداد الزوجية المتتالية. يمكننا كتابتها بالصورة التالية:
$2 \times 4 \times 6 \times 8 \times \ldots \times n$

نحن نعلم أن 1881 هو عبارة عن $3^2 \times 11^2$. لذلك، لنضمن أن الناتج قابل للقسمة على 1881، يجب أن يحتوي على ما لا يقل عن عاملين من العدد 3 وعاملين من العدد 11.

لدينا الآن تكوين العدد:
$2 \times 4 \times 6 \times 8 \times \ldots \times n$

نريد أن نجعله قابلًا للقسمة على $3^2$، لذا يجب أن نتأكد من أن لدينا على الأقل عاملين 3 في هذا الضرب. ونظرًا لأننا نضرب أعدادًا زوجية، فإننا بالفعل نأخذ العامل 3 مع كل عدد زوجي. لذا الآن نحن بحاجة إلى التأكد من أن لدينا على الأقل عاملين 11.

نعلم أن العدد 11 يظهر في كل عدد زوجي بحيث $11 = 2 \times 5 + 1$. لذلك، يجب أن يكون لدينا على الأقل عدد زوجيين (يحتوي كل منهما على عامل 11).

إذاً، نحن نحتاج إلى عدد زوجي يكون أكبر من أو يساوي 5 (حتى نحصل على عامل 11 في كل عدد) وأيضًا يحتوي على عامل 3. أقل عدد زوجي يحتوي على عامل 3 هو 6، لذا نختار 6.

لتلبية شرط العدد الزوجي الأكبر من 5، نختار 6.

إذاً، القيمة المطلوبة لـ $n$ هي 6.

في هذه المسألة، نقوم بحساب القيمة التي يجب أن تكون عليها $n$ بحيث يكون الضرب $2 \times 4 \times 6 \times 8 \times \ldots \times n$ قابلًا للقسمة على 1881. لتحقيق ذلك، نستخدم مفهوم الأعداد الأولية والضرب التسلسلي.

1. تحليل العدد 1881:
   نقوم بتحليل العدد 1881 إلى عوامل أولية. نجد أن $1881 = 3^2 \times 11^2$. يعني ذلك أن العدد يحتوي على عاملين 3 وعاملين 11.

2. ضرب الأعداد الزوجية:
   نقوم بكتابة الضرب باستخدام الأعداد الزوجية المتتالية من 2 إلى $n$. الصيغة تكون: $2 \times 4 \times 6 \times 8 \times \ldots \times n$.

3. تأكيد وجود عوامل 3 و 11:
   نريد ضمان أن الناتج قابل للقسمة على 1881، لذلك نتحقق من وجود عاملين 3 وعاملين 11 في الناتج. نعلم أن العامل 3 يظهر مع كل عدد زوجي، والعامل 11 يظهر في عدد زوجي عندما نقسمه على 2 يكون باقيه 1. لذلك، نحن بحاجة إلى عدد زوجي يحتوي على عامل 3 ويكون باقيه 1 عند القسمة على 2.

4. اختيار القيمة المناسبة لـ $n$:
   أقل عدد زوجي يحتوي على عامل 3 هو 6. لضمان وجود عامل 11، نختار عدد زوجي يكون باقيه 1 عند القسمة على 2، وهو أيضًا 6.

   إذاً، نقول أن قيمة $n$ المطلوبة هي 6.

القوانين المستخدمة:

1. تحليل الأعداد إلى عوامل أولية:
   استخدام قاعدة تحليل الأعداد إلى عواملها الأولية لفهم تكوين العدد المعني.

2. ضرب الأعداد التسلسلي:
   استخدام الفهم الرياضي للتسلسل لكتابة الضرب بشكل متسلسل.

3. التحقق من وجود العوامل:
   فحص الناتج للتأكد من وجود العوامل المطلوبة (في هذه الحالة، عوامل 3 و 11).

4. اختيار القيمة المناسبة:
   استنتاج القيمة المناسبة استنادًا إلى الشروط المطلوبة والفهم الرياضي.