حل مسألة الضرب: أقل وأكبر قيم للعدد (مسألة رياضيات)

المسألة تتعلق بمجموعة من البطاقات، حيث يتم كتابة عدد صحيح إيجابي على كل بطاقة. في لعبة الضرب، يقوم الطفل بسحب بطاقة ويقوم بضرب العدد المكتوب على البطاقة في العدد الصحيح الذي يليه. إذا كانت جميع النواتج الممكنة تقع بين 35 و200، فما هي أصغر وأكبر قيمة ممكنة للعدد المكتوب على البطاقة؟

لنحل هذه المسألة، دعونا نفترض أن العدد المكتوب على البطاقة هو $x$، وبما أننا نقوم بضربه في العدد الصحيح الذي يليه، فإن النواتج الممكنة تكون $x \times (x+1)$، ونريد أن تكون هذه النواتج بين 35 و200.

للعثور على القيم الممكنة لـ $x$، نقوم بكتابة المعادلة:

$35 \leq x \times (x+1) \leq 200$

لنقم بحساب حلول هذه المعادلة. يمكننا أولاً حل الجزء الأيمن:

$x \times (x+1) \leq 200$

وبعد الحساب، نجد أن أكبر قيمة ممكنة لـ $x$ هي 13. إذاً:

$x \leq 13$

الآن نقوم بحساب الجزء الأيسر:

$35 \leq x \times (x+1)$

وبعد الحساب، نجد أن أصغر قيمة ممكنة لـ $x$ هي 4. إذاً:

$x \geq 4$

لذا، القيم الممكنة للعدد المكتوب على البطاقة هي بين 4 و13.

لحل هذه المسألة، دعونا نكتب المعادلة التي تمثل الشروط المطلوبة:

$35 \leq x \times (x+1) \leq 200$

لفهم هذه المعادلة بشكل أفضل، نقوم بفتح الأقواس وترتيب النواتج:

$35 \leq x^2 + x \leq 200$

الآن، نقوم بترتيب المعادلة بحيث يكون لدينا معادلة تربعية، وهي:

$x^2 + x – 35$

لحل هذه المعادلة، يمكننا استخدام القاعدة العامة لحل المعادلات التربعية:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$، $b = 1$، و $c = -35$. بعد استخدام هذه القاعدة، نجد أن لدينا جذرين:

$x = \frac{-1 + \sqrt{141}}{2} \approx 5.48$

و

$x = \frac{-1 – \sqrt{141}}{2} \approx -6.48$

ولكن نظرًا لأن $x$ يجب أن يكون عدد صحيح إيجابي، نستبعد القيمة السالبة. لذا، نقرب القيمة الإيجابية إلى القريبة الأكبر، ونجد أن أقرب قيمة لـ $x$ هي 6.

الآن، بعد أن حسنا القيمة الإيجابية لـ $x$، نتحقق من أن الشروط مستوفية:

$35 \leq 6 \times 7 \leq 200$

التي تعطينا:

$35 \leq 42 \leq 200$

وهي صحيحة.

لذا، القانون المستخدم في هذا الحل هو قانون حل المعادلات التربعية. يجب أيضًا أن نفحص الشروط المطلوبة للمسألة لضمان توافق الحل مع الظروف المعطاة، والتي هي ضمن نطاق منتظم بين 35 و200.

إذاً، القيم الممكنة للعدد المكتوب على البطاقة هي بين 4 و13.