حل مسألة الصندوق والمكعب (مسألة رياضيات)

داخل صندوق أحذية لدي تارا، الذي يبلغ ارتفاعه x بوصة وعرضه 6 بوصات، وضعت مكعبًا ذا طول ضلع يبلغ 4 بوصات. تبقى 8 بوصات مربعة غير مغطاة في الصندوق.

لحساب قيمة x، يمكننا استخدام المعلومة حول المساحة غير المغطاة. المساحة الكلية للجزء غير المغطى في الصندوق يمكن حسابها عن طريق طرح مساحة السطح الكلي للصندوق من المساحة الكلية للمكعب.

الصندوق لديه اثنين من الوجوه الطولية (طول الصندوق)، وثلاثة من الوجوه الأخرى (عرض الصندوق وجانبي المكعب). لذا يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:

$2x \times 6 + 2(4 \times 6) – 4 \times 4 = 8$

حيث $2x \times 6$ تمثل وجهي الصندوق الطوليين، و $2(4 \times 6)$ يمثل وجوه الصندوق العرضية والجانبية للمكعب. وأخيراً، نقوم بطرح مساحة وجه المكعب ($4 \times 4$) للحصول على المساحة غير المغطاة.

الآن، نقوم بحساب القيمة المطلوبة:

$2x \times 6 + 2(4 \times 6) – 4 \times 4 = 8$

$12x + 48 – 16 = 8$

$12x + 32 = 8$

$12x = -24$

$x = -2$

بالتالي، قيمة $x$ تساوي -2 بوصة. ومن الواضح أن هذه القيمة غير مناسبة في السياق الفعلي للمسألة. إذاً، يجب أن نتأكد من صياغة المسألة أو استبعاد الحلول السلبية الممكنة.

لحل هذه المسألة، سنقوم بفحص الصندوق والمكعب وحساب المساحة غير المغطاة بعناية. سنستخدم قوانين الهندسة البسيطة والمعادلات لتحديد قيمة $x$ بحيث تكون المساحة غير المغطاة هي 8 بوصات مربعة.

للبداية، لنستعرض العناصر المختلفة في الصندوق والمكعب:

• طول الصندوق: $x$ بوصة
• عرض الصندوق: 6 بوصات
• طول ضلع المكعب: 4 بوصات

لحساب المساحة الكلية للصندوق، نستخدم القانون البسيط لمساحة المستطيل:
$مساحة الصندوق = الطول \times العرض$

لذا:
$مساحة الصندوق = x \times 6$

وكما هو معروف، مساحة المستطيل هي جمع مساحة الوجوه الطولية والعرضية:
$مساحة الصندوق = 2(الطول \times العرض) + 2(العرض \times الارتفاع)$

وفي حالتنا:
$x \times 6 = 2(x \times 6) + 2(6 \times 4)$

بعد تبسيط العبارة، نحصل على المعادلة التالية:
$x \times 6 = 2x + 48$

الآن، سنقوم بحساب المساحة الكلية للصندوق وطرح مساحة وجه المكعب:
$مساحة غير مغطاة = مساحة الصندوق – مساحة المكعب$
$8 = (2x + 48) – (4 \times 4)$

بعد التبسيط، نحصل على:
$8 = 2x + 48 – 16$

ثم:
$2x + 32 = 8$

وأخيراً:
$2x = -24$

$x = -12$

لكن يظهر أن قيمة $x$ هي -12 بوصة. وهنا يأتي دور التحقق من السياق الفعلي للمشكلة. في الواقع، لا يمكن أن يكون الطول $x$ للصندوق هو قيمة سالبة، لذلك يجب استبعاد هذا الحل كغير مناسب.

القوانين المستخدمة:

1. قانون مساحة المستطيل: $الطول \times العرض$
2. قانون مساحة المستطيل الكلية: $2(الطول \times العرض) + 2(العرض \times الارتفاع)$
3. قانون حساب المساحة الغير مغطاة: $مساحة الصندوق – مساحة المكعب$