حل مسألة السباحة بالتيار وضد التيار (مسألة رياضيات)

رجل يسبح في اتجاه التيار لمسافة 72 كيلومترًا وفي اتجاه عكس التيار لمسافة 45 كيلومترًا، ويستغرق في كل مرة 6 ساعات. الرجل يبحر في مياه النهر بسرعة ثابتة أثناء السباحة والتي لنعتبرها “سرعة الرجل بدون تأثير التيار”، ولنعتبر “سرعة التيار” بأنها السرعة التي يساعد فيها التيار الرجل أثناء السباحة.

لنقم بتحديد سرعة الرجل بدون تأثير التيار بـ “س” وسرعة التيار بـ “ت”. عند السباحة في اتجاه التيار، يكون الرجل يسبح بسرعة “س+ت”، وعند السباحة ضد التيار يكون يسبح بسرعة “س-ت”.

نستخدم معادلة الزمن والمسافة: الوقت = المسافة / السرعة.

لاتجاه التيار:
$72 / (س+ت) = 6$

ولاتجاه عكس التيار:
$45 / (س-ت) = 6$

نقوم بحل المعادلتين للعثور على قيم “س” و”ت”. قد نقوم بذلك عبر طرح المعادلتين أو استخدام أساليب حسابية مختلفة. سنقوم هنا بحل المعادلتين بالطرح:

$72 / (س+ت) = 6$
$45 / (س-ت) = 6$

نقوم بضرب المعادلة الأولى في 12 للتخلص من المقام في المعادلة الأولى:

$12 * (72 / (س+ت)) = 12 * 6$
$864 / (س+ت) = 72$

نقوم بضرب المعادلة الثانية في 12 أيضًا:

$12 * (45 / (س-ت)) = 12 * 6$
$540 / (س-ت) = 72$

نحل المعادلتين للعثور على قيم “س” و”ت”. سنقوم بطرح المعادلتين:

$864 / (س+ت) – 540 / (س-ت) = 72 – 72$

بتوسيع الكسور وتبسيط الجهة اليمنى، نحصل على:

$(864 * (س-ت) – 540 * (س+ت)) / ((س+ت)(س-ت)) = 0$

نكتب المعادلة بشكل أفضل:

$(864س – 864ت – 540س – 540ت) / (س^2 – ت^2) = 0$

نقوم بجمع المشتركات:

$(324س – 1404ت) / (س^2 – ت^2) = 0$

الآن، نقوم بتقسيم كل جهة من المعادلة على 9 لتبسيط الأمور:

$(36س – 156ت) / (س^2 – ت^2) = 0$

لاحظ أن المعادلة تساوي صفر، وهذا يعني أن العدد 36س – 156ت يساوي صفر. نقوم بتحليل هذه النقطة:

$36س – 156ت = 0$

نقوم بعزل المتغير “س” في هذه المعادلة:

$36س = 156ت$

$س = (156ت) / 36$

نبسط الكسر:

$س = (39ت) / 9$

$س = 13ت / 3$

لدينا الآن قيمة “س” بالنسبة إلى “ت”. يمكننا استخدام هذه القيمة في أي من المعادلتين الأصليتين لحساب القيمة الفعلية. للتبسيط، سنستخدم المعادلة الأولى:

$72 / ((13ت / 3) + ت) = 6$

نقوم بتبسيط المعادلة وحساب قيمة “ت”. بعد ذلك، نستخدم هذه القيمة لحساب “س” وبالتالي نجد السرعة الفعلية للرجل.

$72 / ((13ت / 3) + ت) = 6$

نقوم بضرب المعادلة في (13ت / 3) + ت لتخلص من المقام:

$72 = 6((13ت / 3) + ت)$

نبسط الجهة اليمنى:

$12 = (13ت / 3) + ت$

نضرب كل جهة بمضاعف مشترك لتخلص من المقام:

$36 = 13ت + 3ت$

نجمع المشتركات:

$36 = 16ت$

نحسب قيمة “ت”:

$ت = 36 / 16$

نبسط الكسر:

$ت = 9 / 4$

الآن أ

في حل هذه المسألة، استخدمنا قاعدة الزمن والمسافة لحساب سرعة الرجل في المياه وسرعة التيار. نظرًا لأن الرجل يسبح في اتجاه التيار وعكسه، فقد اعتبرنا سرعة الرجل بدون تأثير التيار كـ “س” وسرعة التيار كـ “ت”.

قاعدة الزمن والمسافة تُعبر عن العلاقة بين المسافة المقطوعة، السرعة، والزمن. يمكن تمثيل هذه العلاقة بالمعادلة:

$\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$

تمثلنا المسافة المقطوعة في اتجاه التيار بمقدار 72 كم وفي اتجاه عكس التيار بمقدار 45 كم، والزمن في كل مرة هو 6 ساعات.

بدأنا بتعريف سرعة الرجل بدون تأثير التيار بـ “س” وسرعة التيار بـ “ت”. ثم قمنا بكتابة معادلتين باستخدام قاعدة الزمن والمسافة لكل اتجاه:

1. في اتجاه التيار: $\frac{72}{س+ت} = 6$ (المسافة 72 كم والزمن 6 ساعات).
2. في اتجاه عكس التيار: $\frac{45}{س-ت} = 6$ (المسافة 45 كم والزمن 6 ساعات).

ثم قمنا بحساب المعادلتين للعثور على قيم “س” و”ت”. بطرح المعادلتين، حصلنا على معادلة جديدة:

$\frac{36س – 156ت}{س^2 – ت^2} = 0$

ومن خلال التحليل، وجدنا أن $36س – 156ت = 0$، وبالتالي $س = \frac{13ت}{3}$.

باستخدام هذه القيمة في أحد المعادلتين الأصليتين، حسبنا قيمة “ت”، وبعد ذلك حسبنا قيمة “س”. وجدنا أن $ت = \frac{9}{4}$ و $س = \frac{13ت}{3} = \frac{13}{4}$.

في الحل استخدمنا القوانين التالية:

1. قاعدة الزمن والمسافة: $\text{الزمن} = \frac{\text{المسافة}}{\text{السرعة}}$.
2. معادلة الحركة: $السرعة = \frac{المسافة}{الزمن}$.
3. جمع وطرح المعادلات.
4. تحليل الجذور في المعادلات الرباعية.

استخدمنا هذه القوانين لفهم وحل المسألة بشكل دقيق وتفصيلي.