حل مسألة: الساين والزوايا المتساوية (مسألة رياضيات)

المطلوب هو إيجاد قيمة صحيحة $n$ في النطاق $-90 \leq n \leq 90$ حيث أن $\sin n^\circ = \sin 604^\circ$.

لحل هذه المسألة، نستفيد من الخاصية التالية في دالة الجيب: $\sin(\theta) = \sin(180^\circ – \theta)$.

إذاً، يمكننا كتابة:
$\sin 604^\circ = \sin (180^\circ \times 3 + 44^\circ) = \sin (180^\circ – 44^\circ)$

ونعرف أن $\sin (180^\circ – \theta) = \sin \theta$. لذا،
$\sin (180^\circ – 44^\circ) = \sin 44^\circ$

الآن، يكفينا فقط أن نجد القيمة المناسبة للزاوية في النطاق $-90 \leq n \leq 90$ حيث أن الساين تكون مساوية لـ $\sin 44^\circ$.

نلاحظ أنه يوجد أكثر من زاوية واحدة تحقق هذا الشرط، فالساين دالة دورية متكررة كل $360^\circ$. ولكن الزاوية التي نبحث عنها تقع في الربع الأول لأن الساين إيجابي في هذا الربع، لذا يمكننا القول بأن:
$\sin n^\circ = \sin 44^\circ$
حيث $n$ تكون في النطاق $0 \leq n \leq 90$.

نعلم أيضاً أن هناك حل آخر يكون متناظراً مع الحل الأول في الربع الثاني من الدائرة، أي $n$ تكون في النطاق $-90 \leq n \leq 0$.

لكن هذه الزاوية الثانية تمثل نفس القيمة المطلوبة للساين، فنجد أن القيمة الصحيحة لـ $n$ هي $44$ درجة (أو يمكن أن تكون $44$ درجة معكوسة في الربع الثاني وتصبح $-44$ درجة).

لحل المسألة، نحتاج إلى فهم الخصائص الأساسية لدوال الجيب المثلثية، مثل الساين والكوساين، وكيفية تطبيقها على مجموعة متنوعة من الزوايا.

1. القانون الأساسي للساين والكوساين:
   الساين والكوساين هما دوال مثلثية أساسية تتعلق بالنسب بين طول الضلع المقابل للزاوية وطول الوتر في المثلث. القانون الأساسي يقول:

   • $\sin(\theta) = \frac{{\text{opposite side}}}{{\text{hypotenuse}}}$
   • $\cos(\theta) = \frac{{\text{adjacent side}}}{{\text{hypotenuse}}}$

2. خصائص الساين والكوساين:

   • $\sin(\theta) = \sin(180^\circ – \theta)$ و $\cos(\theta) = -\cos(180^\circ – \theta)$.
   • هذه الخصائص تعكس أن قيم الساين والكوساين لزوايا مختلفة قد تكون متساوية.

3. التعامل مع الزوايا المتساوية:

   • إذا كانت $\sin(\alpha) = \sin(\beta)$، فإن الزاويتين $\alpha$ و $\beta$ ليستا بالضرورة متساويتين، ولكنهما قد يكونان متناظرين بالنسبة للدائرة الوحدة.

الحل:
نبدأ بمعرفة أن $\sin(\theta) = \sin(180^\circ – \theta)$ وبالتالي $\sin(604^\circ) = \sin(180^\circ \times 3 + 44^\circ)$. بما أننا نعلم أن $\sin(180^\circ – 44^\circ) = \sin(44^\circ)$، فإن $\sin(604^\circ) = \sin(44^\circ)$.

الآن نحتاج للعثور على الزاوية المناسبة التي يمكن أن تمثل كلا القيمتين. لذا نبحث في النطاق المطلوب $-90^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$.

زاوية $44^\circ$ تقع في الربع الأول من الدائرة وتحقق الشرط، لكن هناك أيضًا زاوية في الربع الرابع تساوي $180^\circ – 44^\circ = 136^\circ$. ولكنها ليست ضمن النطاق المطلوب.

إذاً، القيمة الصحيحة للزاوية $n$ هي $44^\circ$.