مسائل رياضيات

حل مسألة الزوايا باستخدام الجيب (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 21/12/2023
0

إذا كانت قيمة الظاهرة التمامية للزاوية $\alpha$ هي $8$ وقيمة الظاهرة التمامية للزاوية $\beta$ هي $7$، فإنه يُطلب منا حساب قيمة الظاهرة التمامية لفرق الزاويتين $(\alpha – \beta)$. لحل هذه المسألة، سنستخدم المعرفة المعروفة في الجبر وعلاقة الجيب التمامي.

لنقم أولاً بكتابة علاقة الجيب التمامي للزاوية $\alpha$ والزاوية $\beta$:

مواضيع ذات صلة
tan⁡α=sin⁡αcos⁡αوtan⁡β=sin⁡βcos⁡β\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \quad \text{و} \quad \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}

ونعلم أيضاً أن $\tan (\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}$.

الخطوة الأولى هي حساب قيمة السين والكوس لكل من $\alpha$ و $\beta$ باستخدام العلاقات المعروفة:

sin⁡α=tan⁡α1+tan⁡2α,cos⁡α=11+tan⁡2α\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}, \quad \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}

و

sin⁡β=tan⁡β1+tan⁡2β,cos⁡β=11+tan⁡2β\sin \beta = \frac{\tan \beta}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}}, \quad \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}}

الآن، نستخدم هذه القيم في الصيغة لحساب $\tan (\alpha – \beta)$:

tan⁡(α−β)=tan⁡α1+tan⁡2α−tan⁡β1+tan⁡2β1+tan⁡α⋅tan⁡β(1+tan⁡2α)(1+tan⁡2β)\tan (\alpha – \beta) = \frac{\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} – \frac{\tan \beta}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}}}{1 + \frac{\tan \alpha \cdot \tan \beta}{\sqrt{(1 + \tan^2 \alpha)(1 + \tan^2 \beta)}}}

من خلال استخدام الخطوات الجبرية، يمكننا تبسيط هذه الصيغة وحساب قيمة $\tan (\alpha – \beta)$. لتوضيح أفضل، يمكن تقديم الحساب بشكل مبسط لكن مفصل وبطريقة طبيعية للقراءة:

tan⁡(α−β)=8/1+82−7/1+721+8⋅7/(1+82)(1+72)\tan (\alpha – \beta) = \frac{8/\sqrt{1+8^2} – 7/\sqrt{1+7^2}}{1 + 8 \cdot 7/\sqrt{(1+8^2)(1+7^2)}}

الآن، يمكن حساب القيمة النهائية للظاهرة التمامية للزاوية $(\alpha – \beta)$ بعد تبسيط الكسور والجذور.

المزيد من المعلومات

بالطبع، سنقوم الآن بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً، وسنشير إلى القوانين التي تم استخدامها خلال الحل.

المطلوب في هذه المسألة هو حساب قيمة $\tan (\alpha – \beta)$ باستخدام المعلومات المعطاة: $\tan \alpha = 8$ و$\tan \beta = 7$.

القوانين المستخدمة:

  1. علاقة الجيب التمامي:

    tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}

    هذه العلاقة تربط بين الظاهرتين التماميتين للزاوية، السين والكوسين.

  2. علاقة حساب السين والكوسين بناءً على الظاهرة التمامية:

    sin⁡θ=tan⁡θ1+tan⁡2θ,cos⁡θ=11+tan⁡2θ\sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}, \quad \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}

    يتم استخدام هذه العلاقات لحساب قيم السين والكوسين باستخدام قيم الظاهرة التمامية.

  3. علاقة جيب الفرق:

    tan⁡(α−β)=tan⁡α−tan⁡β1+tan⁡α⋅tan⁡β\tan (\alpha – \beta) = \frac{\tan \alpha – \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}

الحل:

لحساب $\tan (\alpha – \beta)$، نبدأ بحساب قيم السين والكوسين لكل من $\alpha$ و$\beta$ باستخدام العلاقات المذكورة:

sin⁡α=tan⁡α1+tan⁡2α,cos⁡α=11+tan⁡2α\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}, \quad \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}

و

sin⁡β=tan⁡β1+tan⁡2β,cos⁡β=11+tan⁡2β\sin \beta = \frac{\tan \beta}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}}, \quad \cos \beta = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}}

ثم، نستخدم هذه القيم في علاقة جيب الفرق:

tan⁡(α−β)=tan⁡α1+tan⁡2α−tan⁡β1+tan⁡2β1+tan⁡α⋅tan⁡β(1+tan⁡2α)(1+tan⁡2β)\tan (\alpha – \beta) = \frac{\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}} – \frac{\tan \beta}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}}}{1 + \frac{\tan \alpha \cdot \tan \beta}{\sqrt{(1 + \tan^2 \alpha)(1 + \tan^2 \beta)}}}

الآن، يمكننا حساب هذه القيم باستخدام القوانين الجبرية وتبسيط الكسور والجذور. يتيح ذلك لنا الوصول إلى القيمة النهائية للظاهرة التمامية للزاوية $(\alpha – \beta)$.

اخر تحديث 21/12/2023
0