مسائل رياضيات

حل مسألة الرياضيات: قيمة متغير $X$ (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 08/03/2024
0

إذا كان $8 \tan \theta = X \cos \theta$ و $0 < \theta < \pi$، فلنقم بحساب قيمة $\sin \theta$.

لنبدأ بحساب قيمة $\sin \theta$:

مواضيع ذات صلة

نعلم أن $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ (هوية المثلثات).

نقوم بتجسيم العلاقة الأولى:
8tan⁡θ=Xcos⁡θ8 \tan \theta = X \cos \theta
ونعلم أن $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$، لذا:
8⋅sin⁡θcos⁡θ=Xcos⁡θ8 \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = X \cos \theta
8sin⁡θ=Xcos⁡2θ8 \sin \theta = X \cos^2 \theta

نقوم بتربيع العلاقة الثانية:
sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta

باستبدال $\sin^2 \theta$ في العلاقة السابقة، نحصل على:
8(1−cos⁡2θ)=Xcos⁡2θ8 (1 – \cos^2 \theta) = X \cos^2 \theta
8−8cos⁡2θ=Xcos⁡2θ8 – 8 \cos^2 \theta = X \cos^2 \theta
8=Xcos⁡2θ+8cos⁡2θ8 = X \cos^2 \theta + 8 \cos^2 \theta
8=(X+8)cos⁡2θ8 = (X + 8) \cos^2 \theta

الآن، لنحل لقيمة $\cos \theta$:
cos⁡2θ=8X+8\cos^2 \theta = \frac{8}{X + 8}
cos⁡θ=8X+8\cos \theta = \sqrt{\frac{8}{X + 8}}

الشرط المطلوب $0 < \theta < \pi$ يعني أن $\theta$ تقع في الربع الأول أو الربع الثاني، حيث تكون $\sin \theta$ إيجابية.

نعلم أن $\sin \theta = \sqrt{1 – \cos^2 \theta}$، لذا:
sin⁡θ=1−8X+8\sin \theta = \sqrt{1 – \frac{8}{X + 8}}

ونعلم أن الإجابة هي $\frac{1}{3}$، لذا:
1−8X+8=13\sqrt{1 – \frac{8}{X + 8}} = \frac{1}{3}

نربع الطرفين:
1−8X+8=191 – \frac{8}{X + 8} = \frac{1}{9}

نقوم بحساب الفارق:
X+89=8\frac{X + 8}{9} = 8
X+8=72X + 8 = 72
X=72−8X = 72 – 8
X=64X = 64

إذاً، القيمة المجهولة $X = 64$.

المزيد من المعلومات

في حل المسألة، استخدمنا عدة خطوات وقوانين من الجبر والهندسة المثلثية:

  1. الهوية المثلثية: نستخدم الهوية المثلثية الأساسية $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$، حيث تعبر عن علاقة بين مجموع مربعات الجيوبترين والكوسين والسين.

  2. تعبير الجيوبترين بالكوسين: نستخدم تعبير الجيوبترين بالكوسين $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ لتعبير $\tan \theta$ بالسين والكوسين.

  3. تقدير المدى المسموح به للزاوية $\theta$: نأخذ في الاعتبار الشروط المعطاة في المسألة بأن $0 < \theta < \pi$، وهذا يعني أن الزاوية تقع في الربع الأول أو الربع الثاني.

  4. تحويل العلاقة الأولى إلى تعبير بالسين والكوسين: نحول العلاقة $8 \tan \theta = X \cos \theta$ إلى تعبير يحتوي على السين والكوسين باستخدام تعبير الجيوبترين بالكوسين.

  5. حساب قيمة الكوسين باستخدام تعبير $\tan \theta$: نستخدم التعبير الجديد لحساب قيمة الكوسين.

  6. تحديد قيمة السين: نستخدم العلاقة بين السين والكوسين لتحديد قيمة السين بعد حساب قيمة الكوسين.

  7. حل المعادلة وتحديد قيمة $X$: بعد معرفة أن قيمة $\sin \theta = \frac{1}{3}$، نستخدم هذه المعلومة لحساب قيمة $X$ عن طريق حل المعادلة التي تربط بين $X$ وقيمة $\sin \theta$.

بهذه الخطوات، نحل المسألة ونحدد قيمة المتغير $X$.

اخر تحديث 08/03/2024
0