حل مسألة الرياضيات: قوانين وعمليات. (مسألة رياضيات)

إذا كانت $a$ و $b$ عددين صحيحين موجبين ومجموعهما يساوي 24، فما قيمة $ab$ إذا كان $2ab + 10a = 3b + 222$؟

لنقم بحل المعادلة خطوة بخطوة.

الشرط الأول: مجموع $a$ و $b$ يساوي 24:
$a + b = 24$

الشرط الثاني: المعادلة المعطاة:
$2ab + 10a = 3b + 222$

لنقم بتجريب بعض الأفكار لحل المسألة.

أولاً، يبدو من المعادلة أن لدينا عبارات تتضمن $ab$ و $a$ و $b$. يمكننا محاولة استبدال قيمة $b$ بما تعبر عنه في الشرط الأول، وهو $24 – a$.

وبالتالي، نقوم بتعويض قيمة $b$ في المعادلة الثانية:
$2a(24 – a) + 10a = 3(24 – a) + 222$

نقوم بحساب هذه المعادلة وحلها:

$48a – 2a^2 + 10a = 72 – 3a + 222$

نقوم بترتيب المعادلة:
$48a – 2a^2 + 10a = 294 – 3a$

نقوم بجمع المصطلحات المتشابهة:
$-2a^2 + 58a = 294 – 3a$

نقوم بجمع $3a$ من الطرفين:
$-2a^2 + 61a = 294$

الآن نقوم بترتيب المعادلة في صورة معيارية من الدرجة الثانية:
$2a^2 – 61a + 294 = 0$

الآن، نحاول حل هذه المعادلة باستخدام الطريقة المعتادة لحل معادلات الدرجة الثانية، وهي “العملية الكاملة” أو “التفكيك”. سنقوم بالبحث عن عوامل تناسب تجعل العبارة مساوية للصفر.

الآن، نستخدم العملية الكاملة:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث:
$a = 2, b = -61, c = 294$

نقوم بتعويض القيم وحساب الجذر التربيعي:

$a = \frac{-(-61) \pm \sqrt{(-61)^2 – 4 \times 2 \times 294}}{2 \times 2}$

$a = \frac{61 \pm \sqrt{3721 – 2352}}{4}$

$a = \frac{61 \pm \sqrt{1369}}{4}$

$a = \frac{61 \pm 37}{4}$

لذا:
$a_1 = \frac{61 + 37}{4} = \frac{98}{4} = 24.5$
$a_2 = \frac{61 – 37}{4} = \frac{24}{4} = 6$

من المعطيات، نعلم أن $a$ يجب أن يكون عددًا صحيحًا، لذا نختار $a = 6$.

الآن، نستخدم $a = 6$ لحساب قيمة $b$:
$b = 24 – a = 24 – 6 = 18$

الآن نستخدم $a = 6$ و $b = 18$ لحساب $ab$:
$ab = 6 \times 18 = 108$

لذا، قيمة $ab$ هي 108.

في هذه المسألة، نستخدم مجموعة من الخطوات الرياضية والقوانين لحل المعادلة وايجاد قيمة $ab$. الخطوات تشمل:

1. تحديد المتغيرات: نعلم أن $a$ و $b$ هما عددين صحيحين موجبين، ونريد إيجاد قيمة $ab$.

2. وضع المعادلة الأولى: المعادلة الأولى هي معادلة الشرط التي تحدد مجموع $a$ و $b$، والتي هي $a + b = 24$.

3. وضع المعادلة الثانية: المعادلة الثانية هي المعادلة المعطاة في المسألة، وهي $2ab + 10a = 3b + 222$.

4. استبدال قيمة $b$ بالتعبير الجديد: نستخدم المعادلة الأولى لتعويض قيمة $b$ في المعادلة الثانية، حيث نعوض $b$ بـ$(24 – a)$.

5. حل المعادلة الناتجة: نقوم بحساب وتبسيط المعادلة الناتجة بعد التعويض، للحصول على معادلة من الدرجة الثانية في $a$.

6. حساب قيم $a$ الممكنة: نقوم بحساب قيم $a$ باستخدام العملية الكاملة.

7. حساب $b$: بعد الحصول على قيم $a$ الممكنة، نستخدم المعادلة الأولى لحساب قيم $b$ المقابلة.

8. حساب $ab$: بعد الحصول على قيم $a$ و $b$، نقوم بحساب قيمة $ab$.

القوانين المستخدمة تشمل:

• قانون الجمع والطرح: لتحديد مجموع وفرق الأعداد.
• قانون الضرب والقسمة: لحساب عمليات الضرب والقسمة.
• ترتيب الجمع والطرح: لترتيب المصطلحات في المعادلة وتسهيل عملية الحساب.
• العملية الكاملة: لحل المعادلات من الدرجة الثانية.
• تعويض القيم: لاستبدال القيم المعروفة في المعادلة للحصول على معادلة أصغر وأسهل في الحل.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، يمكننا حل المسألة بطريقة دقيقة ومنطقية، مما يساعد في فهم العلاقات الرياضية بين الأعداد وحل المعادلات.