من بين 100 طالب في نادي العلوم، 65 طالب يدرسون الرياضيات، و43 طالب يدرسون الفيزياء، وX طالب يدرسون كل من الرياضيات والفيزياء. كم عدد طلاب نادي العلوم الذين لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء؟ إذا كنا نعلم أن الإجابة على السؤال السابق هي 2، ما قيمة المتغير X المجهول؟
لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام مبدأ القوانين الأساسية للمجموعات. نبدأ بتطبيق مبدأ الإجمالي، الذي يقول إن عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات أو الفيزياء أو الاثنين معًا يجب أن يساوي إجمالي عدد الطلاب في النادي.
لنقم بتحليل المعطيات:
- عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات = 65
- عدد الطلاب الذين يدرسون الفيزياء = 43
- عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات والفيزياء = X
- عدد الطلاب الذين لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء = غير معروف (سنرمز له بـ Y)
نستخدم القانون الأساسي للمجموعات لحساب Y:
عدد الطلاب في النادي = عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات + عدد الطلاب الذين يدرسون الفيزياء – عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات والفيزياء + عدد الطلاب الذين لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء
100 = 65 + 43 – X + Y
لكننا نعلم أيضًا أن Y (عدد الطلاب الذين لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء) يساوي 2.
لذا، يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:
100 = 65 + 43 – X + 2
نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة X:
X = 65 + 43 + 2 – 100
X = 110 – 100
X = 10
إذاً، قيمة المتغير X المجهولة هي 10.
لحساب عدد الطلاب الذين لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء، نستخدم القيمة المعروفة لـ Y:
Y = 100 – (65 + 43 – 10)
Y = 100 – 98
Y = 2
لذا، هناك 2 طالب لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة بشكل مفصل، سنقوم باستخدام مبادئ النظرية المجموعات والجمل المنطقية. سنقوم بتحليل العلاقات بين الطلاب الذين يدرسون الرياضيات والفيزياء والذين لا يدرسونهما، وذلك باستخدام مبدأ الإجمالي وقوانين الجمع والطرح.
لنعيد صياغة البيانات المعطاة:
- عدد الطلاب في النادي = 100
- عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات = 65
- عدد الطلاب الذين يدرسون الفيزياء = 43
- عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات والفيزياء = X (المتغير المطلوب)
- عدد الطلاب الذين لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء = Y (المطلوب حسابه)
باستخدام مبدأ الإجمالي، نعرف أن عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات أو الفيزياء أو الاثنين معًا يساوي عدد الطلاب في النادي. إذاً، يمكننا كتابة المعادلة كالتالي:
عدد الطلاب في النادي = عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات + عدد الطلاب الذين يدرسون الفيزياء – عدد الطلاب الذين يدرسون الرياضيات والفيزياء + عدد الطلاب الذين لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء
100 = 65 + 43 – X + Y
نعرف أيضًا أن عدد الطلاب الذين لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء هو 2، لذا:
Y = 2
الآن، نحتاج إلى حساب قيمة المتغير X. لذا، نقوم بإعادة صياغة المعادلة بما في ذلك هذه المعلومة:
100 = 65 + 43 – X + 2
الآن، نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة X:
X = 65 + 43 + 2 – 100
X = 110 – 100
X = 10
إذاً، قيمة المتغير X هي 10.
لحساب عدد الطلاب الذين لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء، نستخدم القيمة المعروفة لـ Y:
Y = 100 – (65 + 43 – 10)
Y = 100 – 98
Y = 2
إذاً، هناك 2 طالب لا يدرسون الرياضيات ولا الفيزياء.
القوانين المستخدمة في الحل:
- قانون الجمع والطرح في العمليات الأساسية للمجموعات.
- مبدأ الإجمالي الذي يقول إن مجموع الأعضاء في المجموعات المختلفة يساوي مجموع الأعضاء في المجموعة الكبرى.