حل مسألة الرواتب في ورشة العمل (مسألة رياضيات)

متوسط رواتب جميع العمال في ورشة عمل معينة هو 8000 روبية. ومتوسط رواتب 8 فنيين هو 12000 روبية، بينما متوسط رواتب باقي العمال هو 6000 روبية. يُريد معرفة إجمالي عدد العمال في الورشة.

للحل:
لنقم بتعريف عدد العمال الإجمالي بـ x. إذاً، إجمالي الرواتب لجميع العمال سيكون x مضروبًا في المتوسط العام للرواتب البالغ 8000 روبية.
ثم يمكننا تعبير إجمالي الرواتب للفنيين الـ 8 بمعادلة أخرى، حيث يكون متوسط رواتبهم 12000 روبية.
وبناءً على المعلومات المعطاة، يمكننا كتابة المعادلة التي تعبر عن إجمالي الرواتب لبقية العمال الـ (x – 8)، حيث متوسط رواتبهم 6000 روبية.

الآن، يمكننا كتابة المعادلة الرياضية:
8000x = 12000 * 8 + 6000 * (x – 8)

يمكن حساب قيمة x من هذه المعادلة. لنقم بحسابها:

8000x = 96000 + 6000x – 48000
2000x = 48000
x = 24

إذاً، إجمالي عدد العمال في الورشة هو 24.

نقوم بحل المسألة باستخدام مفهوم المتوسطات والجمع والطرح. لنعتبر عدد العمال الإجمالي في الورشة هو $x$. نعلم أن المتوسط العام للرواتب في الورشة هو 8000 روبية. بالتالي، يمكننا كتابة المعادلة الأولى:

$\frac{1}{x} \sum_{i=1}^{x} \text{Salary}_i = 8000$

حيث $\text{Salary}_i$ تمثل راتب العامل رقم $i$.

نعلم أيضًا أن المتوسط العام لرواتب الفنيين الـ8 هو 12000 روبية، لذا يمكننا كتابة المعادلة الثانية:

$\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8} \text{Salary}_i = 12000$

وأخيرًا، المتوسط العام لرواتب باقي العمال (العمال الـ$x-8$ الباقين) هو 6000 روبية، لذا المعادلة الثالثة تكون:

$\frac{1}{x-8} \sum_{i=9}^{x} \text{Salary}_i = 6000$

القانون المستخدم هو أن متوسط سلسلة من الأرقام هو مجموع هذه الأرقام مقسومًا على عددها. الآن، لحل هذه المعادلات، يمكننا القيام بالعديد من الخطوات الرياضية. لنقم بحساب القيم:

1. استخدام القانون: $\sum_{i=1}^{n} a_i = n \times \text{average}$
2. حل المعادلات الناتجة للعثور على القيم المجهولة.

باستخدام القانون الأول، نحسب قيمة المتوسط العام للرواتب:

$\sum_{i=1}^{x} \text{Salary}_i = 8000 \times x$

والقانون الثاني:

$\sum_{i=1}^{8} \text{Salary}_i = 12000 \times 8$

والقانون الثالث:

$\sum_{i=9}^{x} \text{Salary}_i = 6000 \times (x-8)$

ثم نحل المعادلات للعثور على قيمة $x$ التي هي إجمالي عدد العمال في الورشة.