لنفترض أن $f(x)$ و $g(x)$ هما متعددات طرفية لدرجة $X$ و $5$ على التوالي. درجة $f(x^3) \cdot g(x^2)$ هي $22$. ما قيمة المتغير المجهول $X$؟
لنبدأ بفك تعبير $f(x^3) \cdot g(x^2)$ ومن ثم نحدد الدرجة التي ينبغي أن يكون عليها كلٌ من $f(x)$ و $g(x)$.
عند ضرب الدالتين $f(x^3)$ و $g(x^2)$، يتم تضمين أقصى أعداد الأسية لكلٍ من $f(x)$ و $g(x)$ في الناتج. إذاً، يجب أن نحسب الدرجة الأقصى لكلٍ من $f(x^3)$ و $g(x^2)$.
إذاً، ناتج ضرب $f(x^3)$ سيحتوي على أقصى أعداد الأسية لـ $f(x)$ مربوطة بـ $x^3$، مما يعني أنها ستكون بدرجة ثلاث مرات الدرجة الأصلية، أي $3X$. وبالمثل، ناتج ضرب $g(x^2)$ سيحتوي على أقصى أعداد الأسية لـ $g(x)$ مربوطة بـ $x^2$، مما يعني أنها ستكون بدرجة مضاعفة الدرجة الأصلية، أي $2 \times 5 = 10$.
إذاً، مجموع الدرجات بين $f(x^3)$ و $g(x^2)$ هو $3X + 10$.
ومن المعطيات، نعلم أن الدرجة الكلية لـ $f(x^3) \cdot g(x^2)$ هي $22$.
لذا، لدينا المعادلة التالية:
حيث يجب أن تكون درجة الناتج مساوية لـ $22$.
نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $X$:
لذا، القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$ هي $4$.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، نحتاج إلى فهم القوانين الرياضية المتعلقة بدرجات الدوال والضرب.
-
درجة الدوال الرياضية:
- درجة الدالة الرياضية هي أعلى قوة للمتغير في التعبير الذي يحتوي على الدالة.
- عند ضرب دالتين، يتم جمع درجاتهما.
-
ضرب الدوال:
- عند ضرب دالتين، يتم ضرب معاملاتهما معًا وجمع درجاتهما.
الآن، دعونا نستخدم هذه القوانين لحل المسألة:
لدينا:
- $f(x)$ هو دالة درجة $X$.
- $g(x)$ هو دالة درجة $5$.
- ناتج ضرب $f(x^3)$ و $g(x^2)$ له درجة $22$.
عند ضرب الدالتين، نضرب معاملاتهما ونجمع درجاتهما.
لـ $f(x^3)$، نرى أنه يتم تضمين أعداد الأسية ثلاث مرات، لذا الدرجة ستكون $3X$.
لـ $g(x^2)$، نرى أنه يتم تضمين أعداد الأسية مرتين، لذا الدرجة ستكون $2 \times 5 = 10$.
إذاً، ناتج الضرب سيكون بدرجة $3X + 10$.
معطيات المسألة تشير إلى أن هذا الناتج يساوي $22$، لذا نحصل على المعادلة التالية:
نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $X$:
لذا، القيمة المطلوبة للمتغير المجهول $X$ هي $4$.
هذا الحل يعتمد على فهم درجات الدوال وكيفية تأثير ضربها على درجاتها ومعاملاتها.