حل مسألة الدوال المعقدة في الأعداد المركبة (مسألة رياضيات)

لنقم بإعادة صياغة المسألة الرياضية باللغة العربية:

“كم عدد القيم التي تُرضي الشروط |z| = 5 و $f(z) = z$ للدالة $f(z) = i\overline{z}$، حيث $i^2 = -1$ و$\overline{z}$ تمثل النجمة المركبة لـ $z$؟”

الحل:

لنحل هذه المسألة بتفكيك الشروط المعطاة. أولاً، نعرف أن $|z| = 5$ يعني أن المسافة بين النقطة $z$ والأصل في النظام القطبي تساوي 5 وحدات. هذا يعني أن $z$ يمكن تمثيلها على شكل $z = 5(\cos \theta + i \sin \theta)$ حيث $\theta$ هو الزاوية التي يحددها $z$ مع الاتجاه الإيجابي للمحور الحقيقي.

ثانياً، الشرط الثاني $f(z) = z$ يعني أننا نبحث عن القيم التي تحقق $i\overline{z} = z$. لنقم بحساب $i\overline{z}$:

$i\overline{z} = i(x – iy) = ix + y$

حيث $z = x + iy$.

وبالتالي، يجب أن تتساوى $ix + y$ مع $z$، أي:

$ix + y = x + iy$

لحل هذه المعادلة، يجب أن يكون الجزء الحقيقي للرقم على الجانب الأيسر مساوياً للجزء الحقيقي للرقم على الجانب الأيمن، والجزء الخيالي للرقم على الجانب الأيسر مساوياً للجزء الخيالي للرقم على الجانب الأيمن. لذلك، نحصل على العلاقات التالية:

$y = x$ (للجزء الحقيقي)

و

$x = -y$ (للجزء الخيالي)

الحل لهذا النظام من المعادلات هو $x = 0$ و $y = 0$.

إذاً، القيمة الوحيدة التي تستوفي الشرطين هي $z = 0$.

ولكن نحن نبحث عن القيم التي تحقق شرط $|z| = 5$، إذا كانت النقطة $z = 0$ تقع في المركز وليست على محيط الدائرة $|z| = 5$.

لذلك، لا توجد قيم أخرى لـ $z$ تحقق الشروط المعطاة.

إجمالاً، هناك قيمة واحدة فقط لـ $z$ التي تُرضي الشروط المعطاة، وهي $z = 0$.

في حل هذه المسألة، نستخدم المعلومات المتاحة لتحديد القيم التي تتوافق مع الشروط المعطاة. لنلخص الخطوات والقوانين المستخدمة في الحل:

1. معادلة الدائرة في النظام القطبي: نستخدم المعادلة القطبية للدائرة التي تحتوي على جميع النقاط التي تبعد 5 وحدات عن الأصل. المعادلة هي $|z| = 5$.

2. تمثيل الأعداد المركبة في النظام القطبي: نستخدم تمثيل الأعداد المركبة في النظام القطبي على شكل $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ حيث $r$ هو المسافة من النقطة إلى الأصل و$\theta$ هو الزاوية التي يحددها النقطة مع المحور الحقيقي.

3. تطبيق الدالة المعقدة: نقوم بتطبيق الدالة المعقدة $f(z) = i\overline{z}$ على النقاط المعقدة $z$.

4. العثور على الحلول: نستخدم الشروط المعطاة في المسألة للعثور على القيم التي تتوافق مع هذه الشروط.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

• أولاً، نستخدم $|z| = 5$ لتمثيل جميع النقاط التي تقع على محيط الدائرة بنصف قطر 5 ومركز الأصل.

• ثانياً، نستخدم $f(z) = i\overline{z}$ لتحويل النقاط $z$ إلى نقاط جديدة بواسطة الدالة $f(z)$.

• ثالثاً، نضع الشرط $f(z) = z$ للعثور على النقاط التي تتطابق مع أنفسها بعد تطبيق الدالة.

• بالتالي، نعثر على القيم التي تحقق الشرطين معًا.

• في النهاية، نحصل على القيمة الوحيدة $z = 0$ كحل للمسألة.

باختصار، القوانين المستخدمة تتمثل في استخدام المعادلات القطبية، تطبيق الدوال المعقدة، وحل المعادلات للعثور على القيم المطلوبة.