حل مسألة الدوال الرياضية (مسألة رياضيات)

نعطي أن الدالة $f(x)$ ترضي الشرط التالي: $b^2 f(a) = a^2 f(b)$ لكل الأعداد الحقيقية $a$ و $b$، وأيضاً $f(2) \neq 0$. نريد حساب قيمة التعبير $\frac{f(5) – f(1)}{f(2)}$.

لنبدأ في حل هذه المسألة:

لنستخدم الشرط المعطى $b^2 f(a) = a^2 f(b)$ ونقوم بتجريب بعض القيم لنرى كيف تتصرف الدالة. دعونا نبدأ بتجريب بعض القيم:

إذا قمنا بتعيين $a = 1$ و $b = 2$، فإننا نحصل على:

$2^2 f(1) = 1^2 f(2)$
$4f(1) = f(2)$

الآن، دعونا نحسب قيمة $f(2)$ باستخدام الشرط المعطى. نختار $a = 2$ و $b = 2$، فنحصل على:

$2^2 f(2) = 2^2 f(2)$
$4f(2) = 4f(2)$

هذا لا يعطينا أي معلومات جديدة عن قيمة $f(2)$. لكن الشرط يمكن استخدامه بشكل مختلف. دعونا نحاول $a = 2$ و $b = 5$، نحصل على:

$5^2 f(2) = 2^2 f(5)$
$25f(2) = 4f(5)$
$f(5) = \frac{25}{4} f(2)$

الآن، لدينا كل من $f(2)$ و $f(5)$ في شكل $f(2)$، لكننا لم نحصل على $f(1)$ بعد. دعونا نحاول الحصول على $f(1)$ باستخدام قيمة $f(2)$ التي حصلنا عليها:

نستخدم $a = 2$ و $b = 1$، فنحصل على:

$1^2 f(2) = 2^2 f(1)$
$f(2) = 4f(1)$
$f(1) = \frac{1}{4} f(2)$

الآن، لدينا جميع القيم التي نحتاجها. لنستخدمها في حساب $\frac{f(5) – f(1)}{f(2)}$:

$\frac{f(5) – f(1)}{f(2)} = \frac{\frac{25}{4} f(2) – \frac{1}{4} f(2)}{f(2)}$
$= \frac{\frac{24}{4} f(2)}{f(2)} = 6$

إذاً، قيمة التعبير هي 6.

لحل هذه المسألة، استخدمنا قوانين الدوال والعلاقات الرياضية بين قيمها. القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

1. خاصية الدوال: تعني أن لكل قيمة $x$ في المجال المقدم إليه للدالة، هناك قيمة واحدة وحيدة مقابلة لها في المجال المقدم إليه للدالة.

2. خاصية التعويض: تسمح لنا بتبديل القيم في معادلة بالقيم المقابلة لها دون تغيير قوانين المعادلة.

3. التعويض في المعادلات: نستخدم هذه العملية لاستبدال القيم المعروفة في المعادلات لحل المتغيرات المجهولة.

4. القواعد الحسابية الأساسية: نستخدم القواعد الأساسية للجبر مثل قانون الضرب والقسمة والجمع والطرح لتبسيط التعابير وحساب القيم.

بدأنا بتطبيق الشرط المعطى $b^2 f(a) = a^2 f(b)$ باستخدام قيم مختلفة لـ $a$ و $b$ للحصول على علاقات بين قيم الدالة. ثم استخدمنا هذه العلاقات لحساب قيم مجهولة مثل $f(2)$ و $f(5)$ و $f(1)$.

باستخدام العلاقات التي حصلنا عليها، قمنا بتبديل القيم المعروفة في التعبير $\frac{f(5) – f(1)}{f(2)}$ باستخدام القيم التي حصلنا عليها، وقمنا بالتبسيط للوصول إلى الإجابة النهائية.

هذا النوع من المسائل يحتاج إلى استخدام مهارات الجبر والتلاعب بالمتغيرات والعلاقات الرياضية للوصول إلى الحل الصحيح.