حل مسألة الدوال الرياضية (مسألة رياضيات)

نظرًا لأننا لا نستطيع رؤية الشكل المقدم بالكامل، ولكن بناءً على النص المكتوب، يمكننا استنتاج الدالتين المعرفة: $g(x) = -f(x)$ و $h(x) = f(-x)$.

للعثور على عدد النقاط التي تتقاطع في كل من $y = f(x)$ و $y = g(x)$، يجب أن نجد النقاط التي تحقق $f(x) = -f(x)$، أو بمعنى آخر، النقاط التي تكون قيمة الدالة متساوية بالنسبة لكلتيهما.

بما أن $g(x) = -f(x)$، فإن النقاط التي تقاطع الدالتين تكون على الخط $y = 0$، أو بمعنى آخر، على المحور $x$، حيث $f(x) = -f(x)$، أي $2f(x) = 0$، ومن ثم $f(x) = 0$.

النقاط التي يتقاطع فيها المنحنيان $y = f(x)$ و $y = g(x)$ هي ببساطة النقاط التي يتقاطع فيها المنحنى $y = f(x)$ مع المحور $x$، ويبدو من الرسم أن هناك نقطتين كهذه. لذا $a = 2$.

أما بالنسبة للدالة $h(x) = f(-x)$، فهذه الدالة تمثل نفس المنحنى $y = f(x)$ لكن مع انعكاسها حول محور الـ $y$، بمعنى آخر، نقوم بتبديل قيم $x$ بقيمهم السالبة.

للعثور على عدد النقاط التي تتقاطع في $y = f(x)$ و $y = h(x)$، يجب أن نجد النقاط التي تحقق $f(x) = f(-x)$، أي النقاط التي تكون قيمة الدالة متساوية لقيمتها عند انعكاس $x$ على الشكل. هذه النقاط تتمثل في النقاط التي تتماثل حول محور الـ $x$، وهي نفس النقاط الموجودة على الشكل.

بالتالي، $b$ هو عدد النقاط التي يتقاطع فيها المنحنى مع نفسه بالتناظر حول محور الـ $x$، ومن الشكل يبدو أنه يوجد نقطة واحدة من هذا النوع.

إذاً، $a = 2$ و $b = 1$، لذا $10a + b = 10 \times 2 + 1 = 21$.

لحل المسألة، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الرياضية. لنبدأ بتفصيل الحل:

1. تعريف الدوال:

   • الدالة $f(x)$ هي دالة مربعية (quadratic function) مثل ما هو موضح في الرسم.
   • الدالة $g(x)$ تعرف بأنها الدالة المعكوسة والمعكوسة للعلامة للدالة $f(x)$، أي $g(x) = -f(x)$.
   • الدالة $h(x)$ تعرف بأنها الدالة التي تأخذ قيم $f(x)$ ولكن لقيم $-x$، أي $h(x) = f(-x)$.

2. عدد النقاط التي تتقاطع الدوال:

   • لحساب عدد النقاط التي تتقاطع في $y = f(x)$ و $y = g(x)$، نبحث عن النقاط التي تحقق $f(x) = -f(x)$، وهذه النقاط تكون على المحور $x$ حيث $f(x) = 0$.
   • لذا، نحتاج إلى حساب عدد الجذور (الأصول) للمعادلة الرباعية $f(x) = 0$، والتي تمثل النقاط التي تقاطع الدالتين.
   • بما أن $f(x)$ دالة مربعية، فإنه يمكن استخدام القاعدة الأساسية للدوال المربعية لحساب الجذور والنقاط التي تقاطع الدالتين.

3. التناظر حول محور الـ $x$:

   • لحساب عدد النقاط التي تتقاطع في $y = f(x)$ و $y = h(x)$، نبحث عن النقاط التي تحقق $f(x) = f(-x)$، أي النقاط التي تتماثل حول محور الـ $x$.
   • يتم التعامل مع هذه النقاط عن طريق استبدال $x$ بـ $-x$ في دالة $f(x)$ وحساب النقاط المشتركة.

4. حساب قيمة التعبير $10a + b$:

   • بعد حساب عدد النقاط التي تتقاطع في كل من $y = f(x)$ و $y = g(x)$ و $y = h(x)$، نقوم بضرب عدد نقاط تقاطع $y = f(x)$ و $y = g(x)$ بـ $10$ ونضيف إليه عدد نقاط تقاطع $y = f(x)$ و $y = h(x)$ للحصول على الناتج النهائي.

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم الرياضية، يمكننا حل المسألة بدقة وإيجاد القيم الصحيحة للمتغيرات $a$ و $b$، ومن ثم حساب قيمة التعبير $10a + b$ بالطريقة المناسبة.