حل مسألة: الحد الأدنى لمجموع التعبيرات (مسألة رياضيات)

لنعتبر $a,$ $b,$ $c$ أعداداً حقيقية موجبة تفي بالشرط $a + b + c = X$. نريد إيجاد القيمة الدنيا للتالي:
$\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}.$

لاحظ أنه يمكننا استخدام تقدير كوشي-شوارتز لوصف العبارات الموجودة في المتغيرات. فلنقوم بذلك:

$\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a} \geq \frac{9}{(a + 2b) + (b + 2c) + (c + 2a)}$

وبالتالي:
$\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a} \geq \frac{9}{3(a + b + c)} = \frac{3}{a + b + c}$

الآن، نعلم أن القيمة الدنيا التي يمكن أن تأخذها مجموعة من الأعداد الحقيقية الموجبة هي عندما تكون هذه الأعداد متساوية، أي عندما يكون $a = b = c$. بما أننا مقتنعون أن القيمة الدنيا هي 3، فإننا نعرف أنه يجب أن تكون النقاط متساوية.

لذلك، عندما نقوم بتعويض $a = b = c$ في الشرط $a + b + c = X$، نجد أن $X = 3a$. لذلك، قيمة المتغير المجهول هي ثلاثة أضعاف أي من الأعداد الإيجابية $a$، $b$، و$c$.

لحل المسألة المعطاة، سنقوم باستخدام مفهوم الانتظام وتطبيق قوانين العدم المساواة والتقديرات المتعددة. الهدف هو إيجاد قيمة $X$ التي تحقق الحد الأدنى للتعبير:
$\frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}.$

أولاً، نستخدم قانون العدم المساواة (Cauchy-Schwarz Inequality)، الذي ينص على أنه لأي مجموعة من الأعداد الحقيقية الموجبة $x_1, x_2, \ldots, x_n$ و $y_1, y_2, \ldots, y_n$، ينطبق:
$(x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n)^2 \leq (x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \ldots + y_n^2).$

باستخدام هذه القاعدة في الحالة الحالية، نرى أن:
$(a(1) + b(1) + c(1))^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)((1)^2 + (1)^2 + (1)^2).$

مما يعطينا:
$(a + b + c)^2 \leq (a^2 + b^2 + c^2)(3).$

ثانياً، نقوم بتقديم التعبير على النحو التالي:
$LHS = \frac{1}{a + 2b} + \frac{1}{b + 2c} + \frac{1}{c + 2a}.$

ثالثاً، باستخدام تطبيق التقدير المتعدد (AM-GM Inequality)، حيث إذا كانت $x_1, x_2, \ldots, x_n$ أعداد حقيقية موجبة، فإن:
$\frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1x_2 \ldots x_n}.$

سنقوم باستخدام هذه القاعدة على الفقرات في $LHS$، ونلاحظ أنها تصبح مماثلة للتعبير المستخدم في السؤال، لذا:

$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a)}.$

رابعاً، بالنظر إلى شرط $a + b + c = X$، نقوم بتعويض $X$ بدلاً من $a + b + c$، وبما أننا نعلم أن القيمة الدنيا لـ $LHS$ هي 3، فإننا نفترض أن العبارات في الجذر متساوية، لذا:

$\sqrt[3]{(a + 2b)(b + 2c)(c + 2a)} = 3.$

خامساً، نعوض $a + b + c = X$ في العبارة السابقة، وبالتالي:

$\sqrt[3]{(X)(X)(X)} = 3,$

أو
$X^3 = 27.$

وبالتالي:
$X = \sqrt[3]{27} = 3.$

لذا، قيمة المتغير المجهول $X$ هي 3.