حل مسألة الحد الأدنى للمعادلة الرياضية (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المطلوبة هي إيجاد القيمة الدنيا للمتغير $z$ في المعادلة التالية:

$z = x^2 + 2y^2 + 6x – 4y + 22$

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام التحليل الكامل للمربع الكامل لإيجاد القيمة الدنيا للمتغير $z$ بالنسبة للمتغيرات $x$ و $y$. نبدأ بتكميم العبارة بالنسبة لكل من $x$ و $y$.

لتكميل مربعي $x$، نقوم بإضافة مربعي تعويضين $x$ والتي تكون متساوية مع نصف معامل التعويض، أي $6/2 = 3$، ونفس العملية لمربعي $y$ حيث نضيف مربعي التعويض الخاصين به بمعامل $-4/2 = -2$.

بالتالي، نكتب المعادلة على النحو التالي:

$z = (x^2 + 6x + 9) + 2(y^2 – 2y + 1) + 22 – 9 – 2$

نلاحظ أننا قمنا بإضافة $9$ لاستكمال مربعي $x$ و $1$ لاستكمال مربعي $y$، وكلاهما يحتاج إلى تعديل على القيمة الإجمالية للمعادلة.

الآن، يمكننا تجميع المربعين الكاملين:

$z = (x + 3)^2 + 2(y – 1)^2 + 22 – 9 – 2$

$z = (x + 3)^2 + 2(y – 1)^2 + 11$

نرى أن القيمة الدنيا للمتغير $z$ تكون عندما يكون المربع الأول والثاني للتعويضين هو الصفر، أي عندما يكون $x + 3 = 0$ و $y – 1 = 0$.

من هنا، نجد أن $x = -3$ و $y = 1$.

وبالتالي، نستخدم قيم $x$ و $y$ لحساب القيمة الدنيا لـ $z$:

$z_{\text{min}} = (0)^2 + 2(0)^2 + 11 = 11$

لذا، القيمة الدنيا للمتغير $z$ هي $11$.

لحل المسألة وإيجاد القيمة الدنيا للمتغير $z$ في المعادلة $z = x^2 + 2y^2 + 6x – 4y + 22$، نقوم بتطبيق عدة خطوات مهمة في جبر الكسور والتحليل الكامل. هذه الخطوات تستند إلى القوانين الأساسية في الجبر وتكميل المربع.

1. تكميل المربع (Completing the Square):
   نقوم بتكميل المربع للتعبيرات الخاصة بـ $x$ و $y$ للوصول إلى صيغة مناسبة للمتغير $z$ ومن ثم تسهيل عملية إيجاد القيمة الدنيا له.

2. العثور على القيم التي تجعل المربعات كلها تكون صفراً:
   بعد تكميل المربع، نحدد القيم التي تجعل المربعات $(x + 3)^2$ و $(y – 1)^2$ تساوي صفرًا. هذه القيم هي التي تحقق القيمة الدنيا للمتغير $z$.

3. تطبيق القوانين الأساسية للجبر:
   نستخدم القوانين الأساسية للجبر مثل قوانين تكميل المربع والعمليات الحسابية الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة.

بعد تطبيق هذه الخطوات، نصل إلى القيمة الدنيا للمتغير $z$ التي هي $11$، والتي تتحقق عندما تكون قيم $x = -3$ و $y = 1$.

بهذا الشكل، يتم حل المسألة باستخدام القوانين الأساسية في الجبر مثل تكميل المربع وحساب المعادلات، وهذه الخطوات تتيح لنا فهماً عميقاً لكيفية إيجاد القيم الأمثل للمتغيرات في المعادلات الرياضية.