حل مسألة الجمع في النظام الخماسي (مسألة رياضيات)

المسألة:

إذا كانت $S$، $H$، و$E$ هي أرقام مختلفة وغير صفرية أقل من $5$، وكانت المعادلة التالية صحيحة، فجد مجموع القيم الثلاثة $S$، $H$، و$E$، وعبِّر عن إجابتك في النظام الخماسي.

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} &S&H&E_5\\ &+&H&E_5\\ \cline{2-4} &S&E&S_5\\ \end{array}

الحل:

لنبدأ بفحص الحمل (carry) في الأعداد الثنائية للمعادلة:

1. حمل من جمع الأعداد الموجودة في العمود الأقصى اليمين (وهو $E$):
   $E + E = E + H \implies H = E$

2. حمل من جمع الأعداد الموجودة في العمود الثاني من اليمين (وهو $H$):
   $H + H + \text{حمل} = E \implies \text{حمل} = E$

3. العمود الأقصى اليسار (وهو $S$) لا يحمل شيئًا:
   $S + \text{حمل} = S \implies \text{حمل} = 0$

الآن لدينا قيمة لـ $H$ و $E$، ونعلم أن الحمل بين $H$ و $E$ هو $E$.

بما أن $H = E$، يمكننا الآن كتابة المعادلة بشكل مبسط:

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} &S&H&E_5\\ &+&H&E_5\\ \cline{2-4} &S&E&S_5\\ \end{array}

تصبح:

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} &S&E&E_5\\ &+&E&E_5\\ \cline{2-4} &S&E&S_5\\ \end{array}

الآن نحن نعلم أن $E + E$ يعطي قيمة في الآحاد تكون $E$، لذا يجب أن تكون $E = 0$.

إذاً، الآن لدينا:

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} &S&0&0_5\\ &+&0&0_5\\ \cline{2-4} &S&0&S_5\\ \end{array}

من المعادلة الجديدة، يتضح أن $S + 0 = S$، ولا يوجد حمل. لذا، قيمة $S$ يمكن أن تكون أي رقم من $1$ إلى $4$.

إذاً، مجموع القيم الثلاثة $S$، $H$، و$E$ في النظام الخماسي هو:

$S + H + E = S + 0 + 0 = S_5$

وبما أن $S$ يمكن أن يكون أي رقم من $1$ إلى $4$، فإن مجموع القيم يمكن أن يكون أيضًا $1$، $2$، $3$، أو $4$ في النظام الخماسي.

لحل هذه المسألة، سنقوم بالتحليل خطوة بخطوة للمعادلة المعطاة:

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} &S&H&E_5\\ &+&H&E_5\\ \cline{2-4} &S&E&S_5\\ \end{array}

أولًا، نقوم بالنظر إلى أعمدة الجمع من اليمين إلى اليسار.

القاعدة الأولى التي نستنتجها هي أن الرقم الوحيد الذي يمكن أن يسبب حمل هو جمع الرقم نفسه. لذا، إذا كانت $E$ هي الرقم المضاف إلى نفسه، فإن الحمل سيكون $E$، وبالتالي يكون $H = E$.

الآن، نقوم بتحديد القيمة الممكنة لـ $E$. لدينا:

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} &S&H&E_5\\ &+&H&E_5\\ \cline{2-4} &S&E&S_5\\ \end{array}

حيث $H = E$، لذا يمكننا تبسيط المعادلة إلى:

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} &S&E&E_5\\ &+&E&E_5\\ \cline{2-4} &S&E&S_5\\ \end{array}

نرى أن $E + E$ يعطي قيمة في الآحاد هي $E$. لذا، $E = 0$.

المعادلة بعد هذا التحليل تصبح:

\begin{array}{c@{}c@{}c@{}c} &S&0&0_5\\ &+&0&0_5\\ \cline{2-4} &S&0&S_5\\ \end{array}

ومن المعادلة الجديدة، نستنتج أن $S + 0 = S$ وليس هناك حمل. لذا، قيمة $S$ يمكن أن تكون أي رقم من $1$ إلى $4$.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. قانون الجمع في النظام الخماسي: في النظام الخماسي، عندما يكون مجموع الأعداد يتجاوز الرقم $4$، يحدث حمل إلى العدد التالي.

2. التحليل الرياضي للمعادلات: باستخدام التحليل الرياضي، يمكننا تبسيط المعادلات والكشف عن القيم الممكنة للمتغيرات.

3. استنتاج الحمل والقيم: من خلال دراسة العمليات الحسابية وكيفية تأثير الأرقام على بعضها البعض، يمكننا استنتاج قيم الأرقام وحمل الأعداد.

4. الاستنتاج اللوجي: استخدمنا استنتاجات لوجية بناءً على القوانين الرياضية لتحديد القيم الممكنة والعلاقات بين الأرقام.