حل مسألة الجذور المعقدة في المتوازي المستطيل (مسألة رياضيات)

نريد أن نجد جميع قيم العدد الحقيقي $a$ بحيث تكون الجذور الأربعة المعقدة للمعادلة التالية
$z^4 – 6z^3 + 11az^2 – 3(2a^2 + 3a – 3) z + X = 0$
هي رؤوس لمتوازي مستطيل في السطح المعقد.

لتكون الجذور هي رؤوس لمتوازي مستطيل، يجب أن تكون متوازيتين الأضلاع القائمتين على بعضهما البعض. يعني ذلك أن فارق الأقطار بين النقطتين المتقابلتين في المتوازي المستطيل يتساوى.

لنقم بتحديد الجذور الأربعة لهذه المعادلة. نلاحظ أننا لا نعرف القيمة الخاصة بالمتغير $X$ ولكننا نعرف أنها ثابتة. يمكننا استخدام خاصية الجمع والطرح في الجذور المعقدة للعثور على الحلول.

فلنقم بتسمية الجذور بالتالي:
$z_1, z_2, z_3, z_4$

من ثم استخدام خاصية الجمع والطرح، نحصل على:

$z_1 + z_3 = z_2 + z_4$
$z_1 + z_4 = z_2 + z_3$

من هذين المعادلتين، نجد أن الجذور يمكن أن تكون في الصيغة:

$z_1 = z_2, \quad z_3 = z_4$
أو
$z_1 = z_3, \quad z_2 = z_4$

لأنها الحالة الوحيدة التي تضمن أن النقاط تشكل متوازي مستطيل.

الآن، سنستخدم مساوات Vieta لإيجاد العلاقات بين الجذور والمعاملات في المعادلة. حيث أن مجموع الجذور موجود في المعامل الثاني والمعامل الثالث، ومجموع زوايا الثلاثية المتشكلة بين الجذور موجود في المعامل الثاني.

لذا، لدينا:

$z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = 6$
$z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_1 z_4 + z_2 z_3 + z_2 z_4 + z_3 z_4 = 11a$
$z_1 z_2 z_3 + z_1 z_2 z_4 + z_1 z_3 z_4 + z_2 z_3 z_4 = 3(2a^2 + 3a – 3)$

باستخدام المعلومات أعلاه، نحاول الوصول إلى القيود على قيم $a$ لضمان أن النقاط تكون رؤوس متوازي مستطيل.

من الشرط الأول $z_1 = z_2$ و $z_3 = z_4$ نجد أن:

$z_1 z_3 = |z_1|^2$
و
$z_2 z_4 = |z_2|^2$

باستخدام معادلة Vieta، نحصل على:
$z_1 z_3 + z_2 z_4 = 11a$
بما أن $z_1 z_3 = |z_1|^2$ و $z_2 z_4 = |z_2|^2$ ، يمكننا كتابة:

$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 11a$

باستخدام المعادلة الثانية $z_1 z_2 z_3 + z_1 z_2 z_4 + z_1 z_3 z_4 + z_2 z_3 z_4 = 3(2a^2 + 3a – 3)$، نحصل على:
$z_1 z_3 (z_1 + z_3) + z_2 z_4 (z_2 + z_4) = 3(2a^2 + 3a – 3)$

وبما أن $z_1 = z_2$ و $z_3 = z_4$، نجد أن:
$z_1 z_3 (2z_1) + z_1 z_3 (2z_3) = 3(2a^2 + 3a – 3)$
$2|z_1|^2 + 2|z_3|^2 = 3(2a^2 + 3a – 3)$

الآن، يتبقى لنا حل المعادلات السابقة للعثور على قيم $a$ المطلوبة. بعد الحسابات، نجد أن القيمة الوحيدة لـ $a$ التي تجعل النقاط تكون رؤوس متوازي مستطيل هي $a = 3$.

لحساب قيمة المجهول $X$، يمكننا استخدام المعادلة الأصل

لحل المسألة وإيجاد القيمة المجهولة $X$، سنقوم بتطبيق القوانين والمفاهيم التالية:

1. معادلات فييتا (Vieta’s Formulas): هذه القوانين تربط بين معاملات المعادلة والجذور الأساسية للمعادلة.

2. خاصية جمع وطرح الجذور: إذا كانت $z_1, z_2, z_3, z_4$ هي الجذور الأربعة للمعادلة، فإن مجموع أي زوج من الجذور المتقابلة يتساوى.

3. خواص الأعداد المعقدة: مثل معادلة الأعداد المعقدة بصورة عامة، ومجموعها، والمضاعف المعقد، وغيرها.

4. خواص المتوازي المستطيل: حيث يتطلب وجود متوازي مستطيل أن تكون الأضلاع القائمتين متساويتي الطول والزوايا المجاورة متساوية.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين في حل المسألة:

أولاً، نستخدم معادلات فييتا لكتابة المعادلات التي تربط بين المعاملات والجذور:

$z_1 + z_2 + z_3 + z_4 = 6$
$z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_1 z_4 + z_2 z_3 + z_2 z_4 + z_3 z_4 = 11a$
$z_1 z_2 z_3 + z_1 z_2 z_4 + z_1 z_3 z_4 + z_2 z_3 z_4 = 3(2a^2 + 3a – 3)$

ثانيًا، نستخدم خاصية جمع وطرح الجذور لإيجاد العلاقات بين الجذور، حيث يجب أن تكون $z_1 = z_2$ و $z_3 = z_4$ أو $z_1 = z_3$ و $z_2 = z_4$.

ثالثًا، باستخدام خواص الأعداد المعقدة ومعادلات فييتا، نحاول حل النظام المعادلات للعثور على القيمة المطلوبة $a$.

بعد ذلك، بمجرد العثور على قيمة $a$ التي تحقق شرط متوازي المستطيل، يمكننا استخدام المعادلة الأصلية لحساب قيمة المجهول $X$، وذلك عن طريق وضع القيم المعروفة في المعادلة وحساب الناتج.

باختصار، الحل يتطلب استخدام مجموعة متنوعة من القوانين والمفاهيم الرياضية، بما في ذلك خواص الجذور والمعادلات المعقدة والمتوازي المستطيل، لتحليل وحل المسألة بشكل صحيح ودقيق.