مسائل رياضيات

حل مسألة الجذور الرياضية (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 09/03/2024
0

المطلوب: تحديد عدد الأعداد الصحيحة $n$ التي ترتبط بها العلاقة التالية: $\sqrt{n} \le \sqrt{4n – 6} < \sqrt{2n + 5}$.

لنقم بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

مواضيع ذات صلة

“كم عددًا صحيحًا $n$ يحقق العلاقة التالية: جذر $n$ أقل من أو يساوي جذر $(4n – 6)$ وفوق جذر $(2n + 5)$؟”

الآن، دعونا نقوم بحل المسألة:

لنبدأ بحساب النطاق الذي يحقق فيه الشرط الأيسر $\sqrt{n} \le \sqrt{4n – 6}$.

من الشرط الأيسر:
n≤4n−6\sqrt{n} \le \sqrt{4n – 6}
نرفع كلا الجانبين إلى الأساس 2 للحصول على:
n≤4n−6n \le 4n – 6
نقلب العلاقة للحصول على:
0≤3n−60 \le 3n – 6
ثم نقسم على 3:
0≤n−20 \le n – 2
2≤n2 \le n

الآن نبحث عن النطاق الذي يحقق فيه الشرط الأيمن $\sqrt{4n – 6} < \sqrt{2n + 5}$.

من الشرط الأيمن:
4n−6<2n+5\sqrt{4n – 6} < \sqrt{2n + 5}
نرفع كلا الجانبين إلى الأساس 2 للحصول على:
4n−6<2n+54n – 6 < 2n + 5
ثم نقوم بترتيب العلاقة:
2n<112n < 11
n<112n < \frac{11}{2}

الآن، نحن نبحث عن تقاطع النطاقين $2 \le n$ و $n < \frac{11}{2}$ لحل النظام.

لنبدأ بالنظام:
2≤n2 \le n
n<112n < \frac{11}{2}

نجمع الشروط معًا للحصول على النطاق النهائي:
2≤n<1122 \le n < \frac{11}{2}

الآن نحن بحاجة إلى التحقق من الأعداد الصحيحة في هذا النطاق للتأكد من أنها تلبي الشروط.

أي عدد صحيح بين 2 و 5 (باستثناء 5 نفسها) يعمل لأنه يلبي الشرطين الموضوعين أعلاه. وهذه الأعداد هي: 2، 3، و 4.

لذلك، هناك ثلاثة أعداد صحيحة فقط تلبي الشروط المطلوبة.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة المعطاة، سنقوم بتحليل النطاقات التي تحقق فيها الشروط المطلوبة ومن ثم التحقق من الأعداد الصحيحة ضمن هذه النطاقات.

القوانين المستخدمة في الحل تشمل:

  1. قوانين الجذور: نستخدم قوانين الجذور في تحويل وتبسيط التعبيرات التي تحتوي على الجذور.

  2. القوانين الجبرية: نستخدم القوانين الجبرية لحل المعادلات والتعبيرات المربعية.

  3. قوانين العددية: نستخدم القوانين العددية لحل التباينات وتحديد نطاقات الأعداد الممكنة.

الآن، دعونا نقوم بحل المسألة:

نبدأ بتحليل الشروط:

  1. الشرط الأيسر: $\sqrt{n} \leq \sqrt{4n – 6}$.
  2. الشرط الأيمن: $\sqrt{4n – 6} < \sqrt{2n + 5}$.

لحل الشرط الأيسر، نربع كلا الجانبين للحصول على:
n≤4n−6n \leq 4n – 6
0≤3n−60 \leq 3n – 6
6≤3n6 \leq 3n
2≤n2 \leq n

لحل الشرط الأيمن، نربع كلا الجانبين للحصول على:
4n−6<2n+54n – 6 < 2n + 5
2n<112n < 11
n<112n < \frac{11}{2}

الآن، نقوم بدمج النطاقين:
2≤n<1122 \leq n < \frac{11}{2}

نبدأ بالتحقق من الأعداد الصحيحة ضمن هذا النطاق. الأعداد الصحيحة المتواجدة في هذا النطاق هي 2، 3، و 4.

لذا، هناك ثلاثة أعداد صحيحة فقط تلبي الشروط المطلوبة، وهي الأعداد 2، 3، و 4.

اخر تحديث 09/03/2024
0