حل مسألة الجذر التربيعي: قيمة X (مسألة رياضيات)

جذر مربعي ل $2x$ أكبر من $x$ وأصغر من 4. هناك 3 قيم صحيحة ل $x$ تتوافق مع هذا الشرط. ما قيمة المتغير $x$ المجهول؟

لحل هذه المسألة، لنقم بتحليل الشروط المعطاة:

1. الجذر التربيعي لـ $2x$ يجب أن يكون أكبر من $x$.
2. الجذر التربيعي لـ $2x$ يجب أن يكون أقل من 4.

لنبدأ بالشرط الأول:
$\sqrt{2x} > x$
نربع الطرفين للتخلص من الجذر:
$2x > x^2$
نقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيمن:
$0 > x^2 – 2x$
$x^2 – 2x < 0$
نلاحظ أن هذه المعادلة هي معادلة منحنية صعودية وتمثل نقطة انعطاف عند $x = 2$. لذلك، الحلول الممكنة تكون في النطاق $x < 2$ أو $x > 2$.

الآن نتعامل مع الشرط الثاني:
$\sqrt{2x} < 4$
نربع الطرفين للتخلص من الجذر:
$2x < 16$
$x < 8$

الآن، لدينا نطاقين للبحث عن القيم الممكنة لـ $x$:

1. $x < 2$ (بناءً على الشرط الأول)
2. $x < 8$ (بناءً على الشرط الثاني)

نقوم بدمج هذين الشرطين للعثور على النطاق المشترك:
$x < 2 \cap x < 8$
$x < 2$

بالتالي، القيم الممكنة لـ $x$ هي الأعداد الصحيحة الأقل من 2.

وبما أنه يجب أن يكون هناك 3 قيم صحيحة لـ $x$ تحقق الشروط المعطاة، فإن القيم الممكنة لـ $x$ هي: $x = 0$ و $x = 1$.

إذاً، قيمة المتغير $x$ المجهولة هي 1.

لحل المسألة وتحديد القيم الممكنة للمتغير $x$، نستخدم مجموعة من القوانين والمفاهيم الرياضية:

1. خصائص الجذور التربيعية: نستخدم خصائص الجذور التربيعية في تحليل التعبير $\sqrt{2x}$ وتطبيق الشروط المطلوبة عليه.

2. العلاقات الجبرية: نستخدم العلاقات الجبرية لحل المعادلات وتحديد القيم الممكنة للمتغيرات.

الآن، دعونا نقوم بتفصيل الخطوات:

1. الشرط الأول: $\sqrt{2x} > x$:

   • نقوم برفع الشرط الأول إلى مربعيه للتخلص من الجذر: $2x > x^2$.
   • نقوم بترتيب المعادلة للحصول على $x^2 – 2x < 0$.
   • نلاحظ أن هذه المعادلة تمثل منحنى صعودي، وبالتالي الحلول تكون في النطاق $x < 2$ أو $x > 2$.

2. الشرط الثاني: $\sqrt{2x} < 4$:

   • نرفع الشرط الثاني إلى مربعيه: $2x < 16$.
   • نحصل على $x < 8$.

3. تحديد النطاق المشترك:

   • نجمع الشروط المطلوبة معًا لتحديد النطاق المشترك للقيم الممكنة لـ $x$.
   • النطاق المشترك هو النطاق الذي يلبي كل الشروط، في هذه الحالة، $x < 2$.

4. تحديد الأعداد الصحيحة في النطاق المشترك:

   • نحتاج إلى البحث عن الأعداد الصحيحة التي تقع في هذا النطاق.
   • الأعداد الصحيحة في هذا النطاق هي: $x = 0$ و $x = 1$.

بالتالي، قيمة المتغير $x$ المجهولة هي 1.