حل مسألة الجبر: المعادلة الخطية المحددة (مسألة رياضيات)

المعادلة التي يُطلب حلها هي $x + y + xy = 76$ حيث $x$ و $y$ هما أعداد صحيحة موجبة أقل من 20. نريد حساب قيمة $x + y$.

للحل:
لنبدأ بتحليل المعادلة. يمكننا محاولة تجزئة المصطلح $xy$ بما يعرف بالعامل المشترك الأصغر (أو أقل عامل مشترك)، أي $x$ و $y$.

نلاحظ أن المصطلح الذي يحتوي على الجمع هو $x + y$، لذلك سنحاول تحليل $76$ إلى عوامل متناسبة مع العلاقة بين $x$ و $y$.

لنجرب بعض القيم للعوامل المتناسبة مع 76:

$76 = 1 \times 76$

$76 = 2 \times 38$

$76 = 4 \times 19$

$76 = 19 \times 4$

لكننا نراجع الشرط الذي يفرضه السؤال أن $x$ و $y$ أقل من 20، لذا نستبعد الحالات التي تتجاوز هذا الحد.

بالتالي، يمكننا أن نحدد أن $x$ و $y$ تأخذان القيم $(4, 19)$ أو $(19, 4)$.

الآن، سنختبر كل حالة:

1. إذا كان $x = 4$ و $y = 19$:
   $x + y = 4 + 19 = 23$

2. إذا كان $x = 19$ و $y = 4$:
   $x + y = 19 + 4 = 23$

بالتالي، نتوصل إلى أن قيمة $x + y$ هي $23$، وهو الحل المطلوب للمسألة.

لحل المسألة التي تتعلق بالمعادلة $x + y + xy = 76$ حيث $x$ و $y$ هما أعداد صحيحة موجبة أقل من 20، نحتاج إلى استخدام الجبر والتحليل الرياضي لإيجاد القيم الممكنة لـ $x$ و $y$.

نبدأ بتحليل المعادلة. المطلوب هو إيجاد قيم ممكنة لـ $x$ و $y$ تجعل المعادلة صحيحة. يمكننا تجزئة المصطلح $xy$ إلى عوامله الممكنة.

القوانين المستخدمة في الحل:

1. تحليل العوامل المشتركة: نقوم بتحليل المصطلح $xy$ إلى عوامله الممكنة بحيث يكون هذا التحليل موجودا في جملة معادلة.

2. استخدام الشروط المعطاة في السؤال: نأخذ في الاعتبار الشرط الذي يفرضه السؤال أن $x$ و $y$ أقل من 20.

3. التحليل والاختبار: نختبر القيم الممكنة لـ $x$ و $y$ للتحقق من صحة المعادلة والتأكد من الحل الصحيح.

الآن، نحل المسألة خطوة بخطوة:

1. تحليل العوامل المشتركة لـ $xy$:
   يجب أن يتكون المصطلح $xy$ من عوامل تحقق المعادلة $x + y + xy = 76$. نبدأ بتحليل عوامل 76 إلى جمعياتها الممكنة:

   • $76 = 1 \times 76$
   • $76 = 2 \times 38$
   • $76 = 4 \times 19$
   • $76 = 19 \times 4$

2. الاختبار والتحليل:
   نستبعد الحالات التي تتجاوز الشرط المفروض في السؤال (أقل من 20). بالتالي، نركز على حالتين:

   • عندما $x = 4$ و $y = 19$.
   • عندما $x = 19$ و $y = 4$.

3. التحقق من الإجابة:

   • في الحالة الأولى: $x + y = 4 + 19 = 23$.
   • في الحالة الثانية: $x + y = 19 + 4 = 23$.

بالتالي، تكون قيمة $x + y$ هي $23$.

باختصار، قمنا بتحليل المعادلة، واستخدمنا القوانين الجبرية والشروط المعطاة لإيجاد الحلول الممكنة والتحقق من صحتها. تأكدنا أن قيمة $x + y$ تكون $23$ وهي الإجابة النهائية للمسألة.