حل مسألة التوافقيات الرياضية بأقل من 12 (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

“كم عدد الأعداد الصحيحة الموجبة $a$ التي تكون أقل من 12 وتحقق الشرط الذي يفيد أن المتجه التوافقي $ax \equiv 1 \pmod{12}$ لديه حلاً في $x$؟”

الحل:

لحساب عدد الأعداد الصحيحة الموجبة $a$ التي تحقق الشرط المطلوب، نحتاج إلى فهم كيفية حل المعادلة التوافقية $ax \equiv 1 \pmod{12}$. تكون هذه المعادلة لها حلاً إذا كانت $a$ و $12$ متفرقتين أوليتين وإذا كان لدينا الخواص التالية:

1. متغير $a$ يجب أن يكون متفرقًا عن $12$، أي $a$ و $12$ يجب أن يكونا أحادي الخواص.
2. المعادلة $ax \equiv 1 \pmod{12}$ يجب أن تكون لها حلاً.

بمراجعة الأعداد الصحيحة الموجبة أقل من $12$، نجد أن الأعداد التي تحقق الشرطين أعلاه هي: $1$، $5$، $7$، $11$، إذاً هناك $4$ قيم ممكنة للمتغير $a$.

إذاً، هناك $4$ أعداد صحيحة موجبة لـ $a$ تحقق الشرط المطلوب.

لحل هذه المسألة، سنعتمد على فهم خصائص المعادلة التوافقية $ax \equiv 1 \pmod{12}$ ونستخدم بعض القوانين والخواص المتعلقة بالتوافقيات.

القوانين والخواص المستخدمة:

1. خواص الأعداد الأولية:

   • إذا كانت $a$ و $12$ أحاديتين الخواص (coprime)، أي لا تحتوي أياً منهما على عوامل مشتركة غير الوحدة، فإن المعادلة $ax \equiv 1 \pmod{12}$ تحتوي على حلاً.

2. قانون ضرب التوافقيات:

   • إذا كانت $ax \equiv 1 \pmod{m}$ و $bx \equiv 1 \pmod{m}$، فإن $abx \equiv 1 \pmod{m}$.

الحل:

نريد أن نحل المعادلة التوافقية $ax \equiv 1 \pmod{12}$. لهذا، يجب أن تكون $a$ و $12$ أحاديتين الخواص.

نعرف أن الأعداد الأولية الأقل من $12$ هي: $2, 3, 5, 7, 11$. نلاحظ أن:

• $1$ و $5$ و $7$ و $11$ هي أحاديتين الخواص مع $12$، لأنها لا تحتوي على عوامل مشتركة مع $12$ سوى الوحدة.

بالتالي، يمكننا استخدام هذه القيم لـ $a$. لكن لاحظ أننا لا نحتاج إلى أن يكونوا جميعهم في الحل. يكفي أن يكون العدد $a$ واحدًا منهم.

لدينا إذاً:

• عندما نختار $a=1$، يكون $1 \cdot x \equiv 1 \pmod{12}$، وهو حلاً.
• عندما نختار $a=5$، يكون $5 \cdot 5 \equiv 1 \pmod{12}$، وهو حلاً.
• عندما نختار $a=7$، يكون $7 \cdot 7 \equiv 1 \pmod{12}$، وهو حلاً.
• عندما نختار $a=11$، يكون $11 \cdot 11 \equiv 1 \pmod{12}$، وهو حلاً.

لذا، هناك أربعة أعداد موجبة لـ $a$ تحقق الشرط.