حل مسألة: التسلسل الهندسي والأعداد الصحيحة (مسألة رياضيات)

نشكل تسلسل هندسي من الأعداد الصحيحة الإيجابية حيث العدد الأول هو 3 والعدد الرابع هو 192. ما هو العدد الثالث في التسلسل؟

التسلسل الهندسي يتبع النمط التالي: $a, ar, ar^2, ar^3, \ldots$ حيث $a$ هو العنصر الأول و $r$ هو النسبة الثابتة.

لحساب العنصر الثالث في التسلسل، نستخدم المعلومات التي أعطيت: $a = 3$ والعنصر الرابع $ar^3 = 192$.

نستخدم هذه المعلومات لحساب قيمة $r$ أولاً:
$ar^3 = 192$
$3r^3 = 192$
$r^3 = 64$
$r = 4$

الآن، بمعرفة قيمة $r$، يمكننا حساب العنصر الثالث في التسلسل باستخدام العنصر الأول $a$:
$a_3 = ar^2 = 3 \times 4^2 = 3 \times 16 = 48$

إذاً، العنصر الثالث في التسلسل هو 48.

لحل هذه المسألة، نستخدم القوانين والمفاهيم التالية:

1. التسلسل الهندسي: هو تسلسل من الأعداد يتبع نمط النمو الهندسي، حيث يتم ضرب كل عنصر في التسلسل بنسبة ثابتة للحصول على العنصر التالي.

2. صيغة العنصر العام في التسلسل الهندسي: يُمثلها $a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$ حيث $a_n$ هو العنصر الثالث الذي نريد حسابه، $a_1$ هو العنصر الأول في التسلسل، $r$ هو النسبة الثابتة، و $n$ هو الموضع (الفهرس) للعنصر الذي نريد حسابه.

3. الحساب الجبري: نستخدم الجبر لحل المعادلات واستنتاج القيم المجهولة. في هذه المسألة، نستخدم الجبر لحساب العناصر الثالثة في التسلسل الهندسي.

الآن، لحل المسألة:

نعطى أن العنصر الأول في التسلسل $a_1 = 3$ والعنصر الرابع $a_4 = 192$.

نستخدم صيغة العنصر العام في التسلسل الهندسي:
$a_n = a_1 \times r^{(n-1)}$

ونعلم أن $a_4 = 192$، لذا:
$a_4 = a_1 \times r^{(4-1)}$
$192 = 3 \times r^{3}$

نحل للقيمة المجهولة $r$ بالقسمة على 3 من الطرفين:
$r^3 = \frac{192}{3}$
$r^3 = 64$

ثم نأخذ الجذر التكعيبي لكلا الجانبين:
$r = \sqrt[3]{64}$
$r = 4$

الآن، بعد أن حصلنا على قيمة $r$، نستخدمها لحساب العنصر الثالث في التسلسل:
$a_3 = a_1 \times r^{(3-1)}$
$a_3 = 3 \times 4^2$
$a_3 = 3 \times 16$
$a_3 = 48$

إذاً، العنصر الثالث في التسلسل هو 48.