حل مسألة التجديف: سرعة الرجل والتيار (مسألة رياضيات)

سرعة الرجل في المياه الساكنة هي 24 كم/س. يأخذ الرجل ثلاث مرات وقته للتجديف لأعلى النهر مقارنة بالوقت الذي يأخذه للتجديف لأسفل النهر. لنجد سرعة التيار.

فلنفترض أن السرعة النسبية للرجل عند التجديف لأسفل النهر هي $x$ كم/س. بالتالي، سرعته النسبية عند التجديف لأعلى النهر هي $3x$ كم/س.

السرعة النسبية تحت الظروف المائية تعطى بالفعل بالفرق بين سرعة الرجل في المياه الساكنة وسرعة التيار. إذاً، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$24 – x = 3x$

الآن، يتعين علينا حل المعادلة للعثور على قيمة $x$ وهي سرعة التيار.

$24 = 4x$

$x = 6$

لذا، سرعة التيار هي 6 كم/س.

بالطبع، دعونا نقوم بحل المسألة بتفاصيل أكثر، مستخدمين القوانين المتعلقة بحركة الأجسام في السوائل.

لنقم بتوضيح الوضع أولاً:

لنفترض أن سرعة الرجل في المياه الساكنة هي $V_r$ وسرعة التيار هي $V_s$. بما أن سرعة الرجل عند التجديف لأسفل النهر هي 24 كم/س، يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$V_r – V_s = 24$

ومن المعلوم أنه يستغرق الرجل ثلاث مرات الوقت للتجديف لأعلى النهر مقارنةً بالوقت اللازم للتجديف لأسفل النهر. إذاً، سرعة الرجل عند التجديف لأعلى النهر تكون $V_r + V_s$. يمكن كتابة المعادلة الثانية على النحو التالي:

$V_r + V_s = \frac{1}{3} \times (V_r – V_s)$

الآن، لنقم بحل هذه المعادلتين. لحلها، يمكننا استخدام أسلوب الإحلال أو طرح المعادلتين. لنستخدم طرح المعادلتين:

$V_r + V_s = \frac{1}{3} \times (V_r – V_s)$

نقوم بضرب كل جانب في 3 لتخلص من المقام:

$3 \times (V_r + V_s) = V_r – V_s$

نفصل بين الحروف والأعداد:

$3V_r + 3V_s = V_r – V_s$

نضيف $V_s$ إلى الجهة اليمنى ونطرح $3V_r$ من الجهة اليسرى:

$4V_s = -2V_r$

نقسم على 2 للتخلص من المعامل:

$V_s = -\frac{1}{2}V_r$

الآن، نستخدم المعادلة الأولى:

$V_r – V_s = 24$

نستبدل قيمة $V_s$:

$V_r – \left(-\frac{1}{2}V_r\right) = 24$

نقوم بجمع $V_r$ مع $\frac{1}{2}V_r$:

$\frac{3}{2}V_r = 24$

نضرب في 2/3 لحساب $V_r$:

$V_r = 16$

الآن نستخدم قيمة $V_r$ لحساب $V_s$:

$V_s = -\frac{1}{2} \times 16 = -8$

لكن السرعة لا يمكن أن تكون سالبة، لذا يجب أن يكون هناك خطأ في التفكير. يبدو أن هناك خطأ في الوضع الأصلي. دعونا نصحح الخطأ:

لنفترض أن سرعة الرجل عند التجديف لأسفل النهر هي $V_r$ وسرعة التيار هي $V_s$. يمكن كتابة المعادلة الأولى كالتالي:

$V_r – V_s = 24$

ثم يمكن كتابة المعادلة الثانية باستخدام حقيقة أنه يستغرق الرجل ثلاث مرات الوقت للتجديف لأعلى النهر مقارنةً بالوقت اللازم للتجديف لأسفل النهر:

$V_r + V_s = 3 \times (V_r – V_s)$

الآن، لنحل هذه المعادلتين. يمكن استخدام طرح المعادلات:

$V_r + V_s = 3V_r – 3V_s$

نقوم بجمع $3V_s$ من الجهة اليسرى ونضيف $V_s$ إلى الجهة اليمنى:

$4V_s = 2V_r$

نقسم على 2:

$V_s = \frac{1}{2}V_r$

الآن نستخدم المعادلة الأولى:

$V_r – V_s = 24$

نستبدل قيمة $V_s$:

$V_r – \frac{1}{2}V_r = 24$

نقوم بجمع $\frac{1}{2}V_r$ إلى الجهة اليمنى:

$\frac{3}{2}V_r = 24$

نضرب في 2/3 للحصول على $V_r$:

$V_r = 16$

الآن نستخدم قيمة $V_r$ لحساب $V_s$:

$V_s = \frac{1}{2} \times 16 = 8$

إذاً، السرعة في النهر هي 8 كم/س.