حل مسألة البنوميال بالرياضيات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:

“العثور على مجموع جميع الأعداد الصحيحة $k$ بحيث تكون $\binom{23}{4} + \binom{23}{5} = \binom{24}{k}$.”

حل المسألة:

لنبدأ بحساب قيمة $\binom{23}{4}$ و $\binom{23}{5}$ و $\binom{24}{k}$.

نعلم أن:

إذاً:

الآن، لنقم بحساب قيمة $\binom{23}{4} + \binom{23}{5}$:

نقوم بتوحيد المقامات عن طريق كتابة الأعداد بشكل مشترك:

الآن، لابد من ملاحظة أن:

وبالتالي، نحتاج لجعل $166$ جزءاً من المقام حتى نتمكن من مقارنة القيمتين:

ومن هنا نستنتج أنه يجب أن تكون القيم متساوية:

الآن، نحتاج إلى تحليل العوامل من الجهتين:

لدينا $24 \times 166 = 24 \times 2 \times 83$.

وعامل 24 يمكن تحليله إلى $2 \times 2 \times 2 \times 3$.

نلاحظ أن عامل 83 ليس له عامل مشترك مع العوامل الأخرى.

ومن الواضح أنه يمكن للعوامل 3 و 2 أن تأتي من عوامل k! أو (24 – k)!

لكن العامل 83 يجب أن يأتي من عوامل 24 – k إذا كان يجب أن يكون k! = 2.

نجد أن أصغر قيمة لـ k لتحقيق ذلك هي k = 2.

وبالتالي، نكون قد وصلنا إلى الحل، والذي هو:

جميع الأعداد الصحيحة $k$ التي تجعل المعادلة $\binom{23}{4} + \binom{23}{5} = \binom{24}{k}$ صحيحة هي 2.

في الختام، يتم حساب مجموع جميع الأعداد الصحيحة $k$ للإجابة النهائية.

لحل المسألة وفهمها بشكل أعمق، دعنا نستعرض القوانين والمفاهيم الرياضية المستخدمة في الحل:

1. صيغة الجمع المجموعي (Binomial Theorem):
   هذه الصيغة تسمح لنا بحساب قيمة التالي:

   $$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

   حيث $\binom{n}{k}$ تعبر عن معامل البنوميال (المثال: $\binom{23}{4}$).

2. قوانين البنوميال (Binomial Identities):
   تشمل قواعد مثل:

   • $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$
   • $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$

3. مفهوم العوامل الأولية (Prime Factorization):
   يسمح لنا بتحليل الأعداد إلى عوامل أولية.

4. مفهوم المساواة الرياضية:
   نستخدم المساواة للتعبير عن العلاقات بين الكميات المختلفة ولحل المعادلات.

الآن، سنحاول فهم العملية خطوة بخطوة:

أولاً، قمنا بحساب قيمة $\binom{23}{4}$ و $\binom{23}{5}$ باستخدام صيغة معامل البنوميال.

ثانياً، جمعنا القيمتين للحصول على قيمة $\binom{23}{4} + \binom{23}{5}$.

ثالثاً، بواسطة قوانين البنوميال، نلاحظ أنه يمكن كتابة $\binom{24}{k}$ بصورة مجموع مشترك مع القيم المعروفة.

رابعاً، بعد توحيد المقامات، وجدنا أن عوامل العدد 24 يمكن أن تأتي من جهة واحدة من المعادلة.

خامساً، من خلال تحليل العوامل الأولية، نجد أنه يجب أن تكون القيمة المتوقعة لـ k مرتبطة بالعوامل الأولية للعدد 24.

سادساً، من خلال المساواة الرياضية، وجدنا أن القيمة الوحيدة الممكنة لـ k هي 2.

أخيراً، جمعنا جميع القيم الممكنة لـ k للحصول على الإجابة النهائية.

بهذه الطريقة، نحن لا نقوم بحساب فقط القيم، بل نستخدم فهمنا للقوانين والمفاهيم لحل المسألة بطريقة شاملة وعميقة.