حل مسألة الباقي والأعداد (مسألة رياضيات)

أربعة أعداد صحيحة موجبة تترك باقي 2، 4، 6، و 8 عند قسمتها على 11، ما هو الباقي عند قسم مجموعها على 11؟

حل المسألة:

لنكن الأعداد الأربعة المطلوبة بـ $a_1$ ، $a_2$ ، $a_3$ ، و $a_4$ . يُعبّر عن الباقي عند قسم عدد $x$ على 11 بـ $x \mod 11$ .

نعلم أن:

\begin{align*} a_1 \mod 11 &= 2 \\ a_2 \mod 11 &= 4 \\ a_3 \mod 11 &= 6 \\ a_4 \mod 11 &= 8 \\ \end{align*}

لنجد الباقي عند جمعها:

\begin{align*} (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) \mod 11 &= (2 + 4 + 6 + 8) \mod 11 \\ &= 20 \mod 11 \\ &= 9 \\ \end{align*}

إذاً، الباقي عند قسم مجموع الأعداد على 11 هو 9.

المزيد من المعلومات

حل المسألة:

لفهم الحل بشكل أفضل، دعونا نستخدم $a_1, a_2, a_3,$ و $a_4$ لتمثيل الأعداد الأربعة المطلوبة. وفقًا للبيانات المعطاة:

\begin{align*} a_1 \mod 11 &= 2 \\ a_2 \mod 11 &= 4 \\ a_3 \mod 11 &= 6 \\ a_4 \mod 11 &= 8 \\ \end{align*}

لنجد قيم الأعداد الفعلية، يمكننا استخدام مضاعفات القسمة على 11. لذا:

\begin{align*} a_1 &= 11k + 2 \quad \text{(حيث \(k\) هو عدد صحيح)} \\ a_2 &= 11m + 4 \quad \text{(حيث \(m\) هو عدد صحيح)} \\ a_3 &= 11n + 6 \quad \text{(حيث \(n\) هو عدد صحيح)} \\ a_4 &= 11p + 8 \quad \text{(حيث \(p\) هو عدد صحيح)} \\ \end{align*}

الآن، لنجد الباقي عند جمع هذه الأعداد:

\begin{align*} (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) &= (11k + 2 + 11m + 4 + 11n + 6 + 11p + 8) \\ &= 11(k + m + n + p) + 20 \end{align*}

هنا، لاحظ أن $k + m + n + p$ هو عدد صحيح لأننا نقوم بجمع أربعة أعداد صحيحة. الآن، يمكننا كتابة الناتج ك:

11(k + m + n + p) + 20

لكننا نريد معرفة الباقي عند قسم هذا العدد على 11، لذلك نقوم بحذف الأجزاء التي تقسم على 11 بشكل كامل:

20 \mod 11 = 9

الذي يعني أن الباقي عند قسم مجموع الأعداد على 11 هو 9.

القوانين المستخدمة:

قانون الباقي: إذا كانت $a \mod m = b \mod m$ ، فإن $(a + c) \mod m = (b + c) \mod m$ .
قوانين الجمع والضرب للباقي: إذا كانت $a \mod m = b \mod m$ و $c \mod m = d \mod m$ ، فإن $(a + c) \mod m = (b + d) \mod m$ و $(a \cdot c) \mod m = (b \cdot d) \mod m$ .
قانون التوسيع للباقي: إذا كان $a \mod m = b \mod m$ ، فإن $a^n \mod m = b^n \mod m$ لأي عدد صحيح إيجابي $n$ .

استخدمنا هذه القوانين لتحويل المشكلة إلى معادلة أساسية للباقي عند جمع الأعداد.

اخر تحديث 22/12/2023