حل مسألة الباقي باستخدام الجبر (مسألة رياضيات)

نريد حساب باقي القسمة عند قسمة $(x + 1)^{2010}$ على $x^2 + x + X$. إذا كان الباقي يساوي 1، فما قيمة المتغير المجهول X؟

لنقم بكتابة $(x + 1)^{2010}$ على شكل مجموعات تشابه بينما نستخدم خواص الجبر:

$(x + 1)^{2010} = [(x + 1)^2]^{1005}$

الآن، لدينا $(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

نحتاج الآن إلى قسم $(x^2 + 2x + 1)^{1005}$ على $x^2 + x + X$ للعثور على الباقي.

نستخدم القاعدة العامة لتطوير القوى:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

حيث $\binom{n}{k}$ هو عامل الاختيار، أو معامل الباينوميال، المعروف أيضًا بمثلث باسكال، وهو يحدد عدد الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار k عناصر من مجموعة من n عناصر.

فلنقم بتطبيق هذا:

$(x^2 + 2x + 1)^{1005} = \sum_{k=0}^{1005} \binom{1005}{k} (x^2)^{1005-k} (2x)^k$

ونحن نعلم أنه عندما نقوم بالقسمة على $x^2 + x + X$، سيكون لدينا باقي متكون من عبارة $cx + d$.

لذلك، سنحتاج إلى التعامل مع جميع العبارات التي تحتوي على $x^2$ بما في ذلك $x^2$ و $x$ بشكل منفصل.

الآن، نرى أن جميع العبارات في المجموعة ستحتوي على $x^2$، مما يعني أن الباقي لا يمكن أن يكون 1.

لكن بما أن الباقي هو 1، فإن معامل $x$ في عبارة الباقي يجب أن يكون صفر.

نركز على الجزء الذي يحتوي على $x$:

$\sum_{k=0}^{1005} \binom{1005}{k} (2x)^k$

عند توسيع هذا الجزء، نلاحظ أن الأعداد التي تحتوي على $x$ هي 2، 4، 6، …، أي أعداد زوجية.

لكننا بحاجة إلى الأعداد الفردية فقط لكي يتبقى باقي يكون $cx + d$.

نعرف أن أعداد زوجية مضروبة في x ستكون زوجية أيضًا، ولذلك يجب أن نركز على الأعداد الفردية فقط.

نتجاهل الأعداد الزوجية ونركز فقط على الأعداد الفردية:

$\binom{1005}{1} (2x)^1 + \binom{1005}{3} (2x)^3 + \binom{1005}{5} (2x)^5 + \ldots$

وهكذا نواصل. يبدو أن الأمر سيكون معقدًا، لكن لحسن الحظ، بما أننا نعرف الباقي هو 1، يجب أن يكون المعامل المتعلق ب $x$ في الباقي 1.

وهو ما يحدث عندما نأخذ العبارة $(2x)^1$ ونضربها في المعامل $\binom{1005}{1}$.

$\binom{1005}{1} (2x)^1 = 2 \cdot 1005 \cdot x$

هذا يوازي $2 \cdot 1005 \cdot x = 2010x$.

لكي يكون الباقي هو 1، فإن المعامل المتعلق ب $x$ يجب أن يكون 1.

لذا، $2010x = 1$، ومن ثم $x = \frac{1}{2010}$.

بالتالي، قيمة المتغير المجهول $X$ هي $\frac{1}{2010}$.

لحل المسألة وإيجاد قيمة المتغير المجهول $X$ في المعادلة $(x + 1)^{2010}$ عند القسمة على $x^2 + x + X$ والحصول على باقي يساوي 1، سنستخدم مفهوم القسمة العلمية وخواص الجبر ومبادئ حسابية.

الخطوات التفصيلية:

1. توسيع العبارة الأساسية:
   نبدأ بتوسيع العبارة الأساسية $(x + 1)^{2010}$ باستخدام قاعدة التوسيع العامة للقوى:
   $(x + 1)^{2010} = [(x + 1)^2]^{1005}$

2. توسيع $(x + 1)^2$:
   نحسب $(x + 1)^2$ ونحصل على $x^2 + 2x + 1$.

3. توسيع العبارة المرفوعة للقوة 2010:
   نرفع العبارة $x^2 + 2x + 1$ إلى القوة 1005 باستخدام القاعدة العامة لتوسيع القوى.

4. توسيع العبارة المرفوعة للقوة 1005:
   نستخدم مبدأ توسيع القوى لفتح العبارة المرفوعة للقوة 1005 إلى مجموعة من العبارات، حيث نعبر عن كل عبارة فيها بالعبارة الأصلية مضروبة في نفسها عددًا من المرات.

5. توسيع العبارات وتطويرها:
   نقوم بتوسيع كل عبارة محتملة وتطويرها باستخدام القواعد الجبرية.

6. تحديد الباقي:
   نستخدم خواص القسمة لتحديد الباقي عند القسمة على $x^2 + x + X$.

7. تحليل الباقي:
   نحلل الباقي المحسوب ونحدد المعامل المطلوب ليكون الباقي هو 1.

8. حساب قيمة المتغير المجهول $X$:
   نحسب قيمة المتغير المجهول $X$ باستخدام العلاقة التي تتضمن المعامل المطلوب.

القوانين المستخدمة تشمل:

• قاعدة التوسيع العامة للقوى: $(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
• مبدأ توسيع القوى: توسيع العبارة المرفوعة لقوة معينة إلى مجموعة من العبارات.
• خواص القسمة العلمية: قواعد تحديد الباقي عند القسمة.
• مبدأ الجمع والضرب في الجبر: استخدام القوانين الجبرية لتحليل وتطوير العبارات الجبرية.

باستخدام هذه القوانين والمبادئ، نستطيع حساب الباقي عند القسمة على $x^2 + x + X$ وتحديد قيمة المتغير المجهول $X$ التي تجعل الباقي يساوي 1.