حل مسألة الاختيارات والترتيبات: تحديد قيمة متغير مجهول (مسألة رياضيات)

عدد الطرق لاختيار ثلاثة من الأصدقاء لحضور حفل السوبر بول معك هو العامل المحدد لحساب قيمة المتغير المجهول $X$ في المسألة. يمكننا حساب هذا العدد من الطرق بمساعدة الرياضيات التحليلية.

عندما تختار ثلاثة من أصدقائك للمشاركة في رحلة السوبر بول، يمكنك فعل ذلك من بين جميع أصدقائك بما في ذلك الأصدقاء الذين تقوم بدعوتهم. إذا كان لديك $X$ أصدقاء، فإن عدد الطرق لاختيار ثلاثة منهم هو مجموعة الاختيارات من $X$ لثلاثة.

لحساب هذا العدد، نستخدم الصيغة الرياضية للترتيبات:
$^X C_3 = \frac{X!}{3!(X-3)!}$

وفي هذه المعادلة، $X!$ تعني “عاملي المتغير $X$“، أي عدد كل الأعداد من 1 إلى $X$ مضروبة في بعضها. و $3!$ هو عاملي المتغير 3، و $(X-3)!$ هو عاملي المتغير $(X-3)$.

عندما نحسب هذه القيمة، نجد أنه يجب أن تساوي 56 وهي عدد الطرق المذكورة في السؤال.

$\frac{X!}{3!(X-3)!} = 56$

الآن نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $X$. نبدأ بتبسيط العبارة:

$\frac{X!}{3!(X-3)!} = \frac{X \times (X-1) \times (X-2)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{X \times (X-1) \times (X-2)}{6}$

الآن نعوض هذه القيمة في المعادلة الأصلية:

$\frac{X \times (X-1) \times (X-2)}{6} = 56$

نضرب الطرفين في المعادلة بـ 6 للتخلص من المقام:

$X \times (X-1) \times (X-2) = 56 \times 6 = 336$

الآن نحن بحاجة إلى حل المعادلة التالية:

$X^3 – 3X^2 + 2X – 336 = 0$

نبحث عن الأعداد التي يمكن أن تكون حلولاً لهذه المعادلة. إذا تم البحث، يتضح أن $X = 12$ هو الحل الصحيح للمعادلة.

بالتالي، يجب أن يكون لديك 12 صديقاً لتحقيق 56 طريقة مختلفة لاختيار ثلاثة منهم لحضور السوبر بول معك.

لحل المسألة بشكل أكثر تفصيلًا ووضوحًا، سنستخدم مجموعة من القوانين الرياضية والمفاهيم المتعلقة بالترتيبات والتركيبات.

1. قانون الجمع والضرب:

   • هذا القانون ينطبق عندما نريد حساب عدد الطرق الممكنة لحدوث حدثين متتابعين.
   • عندما نريد اختيار عدة عناصر من مجموعة، نستخدم ضرب الطرق الممكنة لاختيار كل عنصر.

2. صيغة الاختيارات:

   • لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار $k$ عناصر من مجموعة من $n$ عنصر، نستخدم صيغة الاختيارات وتعطى بواسطة:
     $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
     حيث $n!$ تعني عاملي $n$ وهو الضرب من 1 إلى $n$، و $k!$ و $(n-k)!$ هما العوامل المتناظرة للأعداد $k$ و $n-k$ على التوالي.

3. الترتيبات:

   • عندما يكون الأمر مهمًا، نستخدم صيغة الترتيبات.
   • لحساب الترتيبات لـ $k$ عناصر من مجموعة من $n$ عنصر، نستخدم:
     $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$

الآن، دعونا نعود إلى المسألة:
نريد حساب عدد الطرق الممكنة لاختيار ثلاثة من الأصدقاء من بين $X$ أصدقاء. وهذا يعادل تطبيق صيغة الاختيارات $C(X, 3)$ حسب القانون الذي سبق ذكره.

وبما أن عدد الطرق هو 56، فإننا نحصل على المعادلة التالية:
$C(X, 3) = 56$

نستخدم الصيغة التالية لحساب الاختيارات:
$C(X, 3) = \frac{X!}{3!(X-3)!}$

نحل المعادلة للعثور على قيمة $X$. وبعد الحسابات، نجد أن $X = 12$ هو الحل الصحيح.

باختصار، قمنا باستخدام القوانين المذكورة أعلاه، وخاصة قوانين الاختيارات، لحساب عدد الطرق الممكنة لاختيار ثلاثة أصدقاء من بين $X$ أصدقاء، وضعنا هذا العدد مساويًا لـ 56 لحساب قيمة $X$ المجهولة.