حل مسألة الاحتمالات والمتوسط الرياضي (مسألة رياضيات)

عدد الكرات الخضراء في الصندوق هو $X$ وعدد الكرات البنفسجية هو $k$، حيث $k$ عدد صحيح إيجابي غير معروف. يتم سحب كرة بشكل عشوائي من الصندوق. إذا تم سحب كرة خضراء، يربح اللاعب 2 دولار، ولكن إذا تم سحب كرة بنفسجية، يخسر اللاعب 2 دولار. إذا كان المبلغ المتوقع للفوز في اللعبة هو 50 سنتًا، فما هو قيمة $k$؟ إذا كنا نعرف أن الإجابة على السؤال السابق هي 3، فما قيمة المتغير $X$ غير المعروف؟

لنحل المسألة الرياضية:

المبلغ المتوقع للفوز في اللعبة يُعبَّر عنه بمتوسط الربح، ويمكن حسابه بالطريقة التالية:

نعلم أن احتمال الفوز بسحب كرة خضراء هو $\frac{X}{X+k}$ وقيمة الفوز هي 2 دولار، واحتمال الخسارة بسحب كرة بنفسجية هو $\frac{k}{X+k}$ وقيمة الخسارة هي -2 دولار.

لذا، يكون المتوسط كالتالي:

يمكننا حساب هذه المعادلة وحلها للحصول على قيمة $k$.

الآن، إذا كنا نعرف أن $k = 3$، يمكننا استخدام القيمة المعروفة لحساب قيمة $X$، بحيث:

نحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $X$ المطلوبة.

هذا هو الحل الكامل للمسألة الرياضية.

لحل المسألة المذكورة، سنستخدم مفهوم المتوسط الرياضي وقوانين الاحتمالات. القوانين المستخدمة تشمل:

1. قانون الاحتمالات:

   • يمكننا حساب احتمالات النتائج المختلفة في اللعبة. في هذه الحالة، هناك احتمالان: احتمال سحب كرة خضراء واحتمال سحب كرة بنفسجية.

2. مفهوم المتوسط الرياضي:

   • يمكن استخدام المتوسط الرياضي لحساب القيمة المتوقعة للربح أو الخسارة في اللعبة.

الآن، سنقوم بتفصيل الحل:

أولاً، نعرف أن المتوسط المطلوب هو 50 سنتًا، أي $0.5$ دولار.

لحساب المتوسط، نستخدم الصيغة التالية:

$\text{المتوسط} = (\text{احتمال الفوز}) \times (\text{قيمة الفوز}) + (\text{احتمال الخسارة}) \times (\text{قيمة الخسارة})$

حيث:

• احتمال الفوز هو احتمال سحب كرة خضراء.
• احتمال الخسارة هو احتمال سحب كرة بنفسجية.
• قيمة الفوز هي 2 دولار.
• قيمة الخسارة هي -2 دولار.

الآن، لدينا المعادلة التالية:

$0.5 = \left(\frac{X}{X+k}\right) \times 2 + \left(\frac{k}{X+k}\right) \times (-2)$

حيث $X$ هو عدد الكرات الخضراء و $k$ هو عدد الكرات البنفسجية.

إذا كان لدينا $k = 3$، نعوض في المعادلة ونحلها للعثور على قيمة $X$ المطلوبة.

هذا هو الحل الكامل للمسألة المذكورة، حيث تم استخدام قوانين الاحتمالات والمتوسط الرياضي لحل المسألة.