حل مسألة: الإسقاط والضرب الداخلي (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد الإسقاط (Projection) للمتجه $\begin{pmatrix} X \ 5 \end{pmatrix}$ على المتجه $\begin{pmatrix} 2 \ 0 \end{pmatrix}$.

لنجد الإسقاط، نستخدم الصيغة التالية:
$\text{Projection}_{\textbf{v}}(\textbf{u}) = \frac{\textbf{u} \cdot \textbf{v}}{\|\textbf{v}\|^2} \cdot \textbf{v}$
حيث أن:

• $\textbf{u}$ هو المتجه الذي نريد إيجاد إسقاطه.
• $\textbf{v}$ هو المتجه الذي نريد الإسقاط عليه.

في هذه الحالة:

• $\textbf{u} = \begin{pmatrix} X \ 5 \end{pmatrix}$
• $\textbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \end{pmatrix}$

لنحسب الناتج:
$\textbf{u} \cdot \textbf{v} = \begin{pmatrix} X \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = (X \times 2) + (5 \times 0) = 2X$
$\|\textbf{v}\|^2 = \|\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\|^2 = 2^2 + 0^2 = 4$

إذاً، الإسقاط يكون:
$\text{Projection}_{\textbf{v}}(\textbf{u}) = \frac{2X}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{X}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X \\ 0 \end{pmatrix}$

الإسقاط المعطى هو $\begin{pmatrix} 4 \ 0 \end{pmatrix}$، لذا يجب أن يكون قيمة المتغير $X$ هو 4.

إذاً، الحل النهائي هو: $X = 4$

لحل المسألة، نستخدم مفهوم الإسقاط (Projection) الذي يعتمد على العمليات الجبرية الأساسية وبعض القوانين الهندسية. إليك الخطوات التفصيلية لحل المسألة:

1. معرفة البيانات المعطاة:

   • لدينا المتجه $\textbf{u} = \begin{pmatrix} X \ 5 \end{pmatrix}$.
   • ونريد الإسقاط على المتجه $\textbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \ 0 \end{pmatrix}$.

2. حساب الإسقاط:

   • نستخدم الصيغة للإسقاط:
     $\text{Projection}_{\textbf{v}}(\textbf{u}) = \frac{\textbf{u} \cdot \textbf{v}}{\|\textbf{v}\|^2} \cdot \textbf{v}$
     حيث أن:
   • $\textbf{u} \cdot \textbf{v}$ هو الضرب الداخلي بين المتجهين.
   • $|\textbf{v}|^2$ هو مربع الطول الإقليدي للمتجه $\textbf{v}$.

3. حساب الضرب الداخلي ومربع الطول الإقليدي للمتجه $\textbf{v}$:

   • الضرب الداخلي: $\textbf{u} \cdot \textbf{v} = (X \times 2) + (5 \times 0) = 2X$.
   • مربع الطول الإقليدي للمتجه $\textbf{v}$: $|\textbf{v}|^2 = 2^2 + 0^2 = 4$.

4. حساب الإسقاط:

   • باستخدام الصيغة، نحصل على:
     $\text{Projection}_{\textbf{v}}(\textbf{u}) = \frac{2X}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{X}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X \\ 0 \end{pmatrix}$

5. المقارنة مع الإسقاط المعطى:

   • الإسقاط المعطى هو $\begin{pmatrix} 4 \ 0 \end{pmatrix}$.
   • من خلال المقارنة، نستنتج أن قيمة المتغير $X$ هي 4.

بهذا، يتم حل المسألة باستخدام القوانين الجبرية الأساسية للضرب الداخلي ومربع الطول الإقليدي للمتجه، مع تطبيق مفهوم الإسقاط الهندسي للعثور على الإجابة المطلوبة.