حل مسألة الأعداد والباقي الرياضي (مسألة رياضيات)

عند قسمة العدد $a$ على 45، يكون لدينا باقي يساوي 37. وعند قسمة العدد $b$ على 30، يكون لدينا باقي يساوي 9. السؤال يطلب معرفة الباقي عند قسمة $a+b$ على 15.

لحل هذه المسألة، دعونا نستخدم الرموز والتعابير الرياضية. لنمثل الباقي عند قسم عدد $x$ على $y$ برمز $x \mod y$.

لدينا:
$a \mod 45 = 37$
$b \mod 30 = 9$

الآن سنقوم بكتابة التعابير الرياضية للعددين $a$ و $b$ باستخدام الباقي:
$a = 45k_1 + 37$
$b = 30k_2 + 9$

حيث $k_1$ و $k_2$ هما عوامل صحيحة. الآن نريد معرفة الباقي عند جمع $a$ و $b$ وقسم الناتج على 15:
$a + b = (45k_1 + 37) + (30k_2 + 9)$
$= 45k_1 + 30k_2 + 37 + 9$
$= 15(3k_1 + 2k_2) + 46$

التعبير النهائي يمكن كتابته بشكل آخر:
$a + b \mod 15 = 46 \mod 15$

الآن سنقوم بحساب القيمة:
$46 \mod 15 = 1$

لذا، باقي قسمة $a+b$ على 15 يكون 1.

لنقم بحل المسألة بتفاصيل أكثر ونشرح الخطوات التي قمنا بها للوصول إلى الإجابة. سنستخدم القوانين الرياضية الأساسية في الجبر وقوانين الباقي. للتبسيط، سنستخدم الرموز التالية:

• $a \mod b$: باقي قسمة $a$ على $b$.
• $k$: عامل صحيح.

المعطيات:
$a \mod 45 = 37$
$b \mod 30 = 9$

نقوم بكتابة التعابير الرياضية للعددين $a$ و $b$:
$a = 45k_1 + 37$
$b = 30k_2 + 9$

الخطوة الأولى: نريد إيجاد قيمة $a+b$:
$a+b = (45k_1 + 37) + (30k_2 + 9)$
$= 45k_1 + 30k_2 + 37 + 9$
$= 15(3k_1 + 2k_2) + 46$

الخطوة الثانية: الآن نريد معرفة الباقي عند قسم $a+b$ على 15. يمكننا كتابة هذا بشكل رمزي:
$a + b \mod 15 = (15(3k_1 + 2k_2) + 46) \mod 15$

الخطوة الثالثة: نستخدم قاعدة $a \mod b = (a + kb) \mod b$:
$(15(3k_1 + 2k_2) + 46) \mod 15$
$= 46 \mod 15$

الخطوة الرابعة: نستخدم القاعدة الأساسية في حساب الباقي:
$46 \mod 15 = 1$

لذا، نستنتج أن باقي قسمة $a+b$ على 15 هو 1.

القوانين المستخدمة:

1. قاعدة القسمة: إذا كانت $a \mod b = c$، فإنه يمكن كتابتها على شكل $a = kb + c$.
2. قاعدة الجمع: $a+b \mod c = (a \mod c + b \mod c) \mod c$.
3. قاعدة الضرب: $a \cdot b \mod c = (a \mod c \cdot b \mod c) \mod c$.
4. قاعدة الباقي: إذا كانت $a \mod b = c$، فإنه يمكن كتابتها على شكل $a = kb + c$.