حل مسألة الأعداد بالقوى والمعادلات (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية التي نحتاج لحلها هي معرفة القيمة الإيجابية لـ $b$ إذا كان العدد السداسي $53_6$ يساوي العدد في القاعدة $b$ هو $113_b$.

لفهم السؤال بشكل أفضل، دعنا نقوم بإعادة صياغته بشكل أكثر وضوحًا:

إذا كان العدد $53_6$ بالقاعدة السداسية يساوي العدد $113_b$ في قاعدة $b$، فما هي القيمة الإيجابية للعدد $b$؟

الآن، لنبدأ في حل هذه المسألة:

العدد $53_6$ بالقاعدة السداسية يمثل:

$(5 \times 6^1) + (3 \times 6^0) = (5 \times 6) + (3 \times 1) = 30 + 3 = 33$

الآن، العدد $113_b$ بالقاعدة $b$ يمثل:

$(1 \times b^2) + (1 \times b^1) + (3 \times b^0) = b^2 + b + 3$

وهذا يعادل 33 بناءً على المعادلة التي نواجهها:

$b^2 + b + 3 = 33$

لنقم بحل هذه المعادلة للعثور على قيمة $b$. نبدأ بترتيب المعادلة:

$b^2 + b – 30 = 0$

الآن، يمكننا حل المعادلة باستخدام العملية الشهيرة “تكميل المربع”:

$b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$

حيث أن $a = 1$، $b = 1$، و $c = -30$.

بعد التعويض، نحصل على:

$b = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \times 1 \times -30}}{2 \times 1}$
$b = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 120}}{2}$
$b = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2}$
$b = \frac{-1 \pm 11}{2}$

الآن نحل معادلتين:

1. $b = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$
2. $b = \frac{-1 – 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

القيمة الإيجابية لـ $b$ هي 5.

إذاً، القيمة الإيجابية لـ $b$ هي 5.

لحل المسألة والعثور على قيمة $b$ بشكل دقيق، نحتاج إلى استخدام عدة خطوات وقوانين في الجبر وحساب الأعداد. هنا تفاصيل أكثر حول الحل:

1. تمثيل الأعداد في النظام السداسي والنظام العشري:

   • في النظام السداسي، كل رقم يمثل قوة من قوى العدد 6.
   • في النظام العشري، كل رقم يمثل قوة من قوى العدد 10.

2. تمثيل الأعداد المعطاة:

   • العدد $53_6$ يتم تمثيله في النظام العشري كـ $5 \times 6 + 3 \times 1 = 33$.
   • العدد $113_b$ يتم تمثيله في النظام العشري كـ $b^2 + b + 3$.

3. إعادة صياغة المعادلة:

   • بعد تحويل كل من $53_6$ و $113_b$ إلى النظام العشري، نحصل على المعادلة: $b^2 + b + 3 = 33$.

4. حل المعادلة باستخدام تكميل المربع:

   • نقوم بتحويل المعادلة إلى شكل معادلة من الدرجة الثانية ($ax^2 + bx + c = 0$).
   • نستخدم تكميل المربع لحل المعادلة باستخدام الصيغة العامة.

5. حل المعادلة للعثور على قيم $b$:

   • نستخدم الصيغة العامة لحل المعادلة التربيعية.
   • نستخدم الجذر التربيعي لحساب القيم الممكنة لـ $b$.

6. التحقق من القيم الممكنة:

   • بعد حساب القيم الممكنة لـ $b$، نتحقق من القيمة الإيجابية لـ $b$، لأننا نبحث عن القيمة الإيجابية فقط.

7. الإجابة:

   • بعد التحقق، نجد أن القيمة الإيجابية لـ $b$ هي 5.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين في الجبر وحساب الأعداد، نستطيع حل المسألة بدقة والعثور على القيمة الإيجابية لـ $b$.