حل مسألة الأعداد المركبة والمسافات (مسألة رياضيات)

نتوجه إلى معالجة المسألة الرياضية التي قدمتها، والتي تتعلق بالأعداد المركبة والمسافات في السطح المعقد.

نعطي تمثيل النقاط $P$، $Q$، و$R$ في السطح المعقد بالأعداد المركبة كالتالي:

• $P$ تمثلها العدد المركب $z$
• $Q$ تمثلها العدد المركب $(1 + i)z$
• $R$ تمثلها العدد المركب $2\overline{z}$

حيث أن $|z| = X$، والذي يُعتبر مسافة $z$ عن الأصل في السطح المعقد.

للعثور على المسافة القصوى بين $S$ والأصل، نحتاج إلى معرفة موقع $S$ ومن ثم حساب المسافة بينه وبين الأصل.

نعلم أن $S$ هي رابعة الرباعي $PQRS$، وأن النقاط المتقابلة في الباراليلوغرام متساوية. لذا:

$S = Q + R – P = (1 + i)z + 2\overline{z} – z = 2\overline{z} + (1 + i)z – z = 2\overline{z} + iz.$

لكن علينا الانتباه، الحسابات قد تتضمن أخطاء لو استخدمنا بدون توجيه القواعد المتعلقة بالأعداد المركبة. في الحقيقة، يجب أن نعمل على تبسيط التعبير للحصول على شيء مفيد. لذلك، سنقوم بتطبيق القواعد التالية لتبسيط التعبير:

• $\overline{z} = \frac{{|z|^2}}{z}$

• $i^2 = -1$

لنستخدم هذه القواعد لتبسيط التعبير:

$S = 2\overline{z} + iz = 2\left(\frac{{|z|^2}}{z}\right) + iz = \frac{{2|z|^2}}{z} + iz = \frac{{2X^2}}{z} + iz.$

الآن، نحن بحاجة إلى حساب المسافة بين $S$ والأصل. هذا يعادل مقدار $|S|$.

\begin{split}|S| &= \left|\frac{{2X^2}}{z} + iz\right|\\ &= \left|2X^2z^{-1} + iz\right|\\ &= \left|z^{-1}(2X^2 + iz^2)\right|\\ &= \left|z^{-1}(2X^2 – z)\right|\\ &= \left|\frac{{2X^2 – z}}{z}\right|\\ &= \frac{{|2X^2 – z|}}{|z|}.\end{split}

وقد علمنا أن المسافة القصوى بين $S$ والأصل هي 3، لذا:

$\frac{{|2X^2 – z|}}{|z|} \leq 3.$

نعلم أن $|z| = X$، لذا نستخدم هذا الإتساع:

$\frac{{|2X^2 – z|}}{X} \leq 3.$

ومن هنا يمكننا حساب الحد الأقصى لـ $X$ من النقاط التي قد تحدث في $|2X^2 – z| = 3X$.

$|2X^2 – z| = 3X.$

هذا يعني أن:

$2X^2 – z = 3X \quad \text{أو} \quad 2X^2 – z = -3X.$

لحل هذه المعادلات، نحتاج إلى مزيد من المعلومات حول $z$، ولكن يمكننا أن نقيِّد قيمة $X$ بناءً على شروط السؤال.

فلنقم بحساب المسافة القصوى بين $S$ والأصل:

\begin{split}|S| &= \left|\frac{{2X^2 – z}}{z}\right|\\ &= \frac{{|2X^2 – z|}}{|z|}\\ &= \frac{{|2X^2 – z|}}{X}.\end{split}

ونعلم أن هذه المسافة القصوى تساوي 3، لذا:

$\frac{{|2X^2 – z|}}{X} = 3.$

إذا، قيمة $X$ يجب أن تكون تلك التي تحقق المساواة التالية:

$|2X^2 – z| = 3X.$

حتى نتمكن من حل هذه المعادلة بالنسبة لـ $X$، يجب أن نعرف قيمة $z$. الآن، بما أن السؤال لم يحدد قيمة محددة لـ $z$، لا يمكننا حل المعادلة وتحديد $X$ بدقة.

باختصار، لحساب قيمة $X$، نحتاج إلى معرفة ق

لحل المسألة، سنستخدم الخصائص والقوانين المتعلقة بالأعداد المركبة والمسافات في السطح المعقد.

المعطيات:

• نقطة $P$ ممثلة بالعدد المركب $z$.
• نقطة $Q$ ممثلة بالعدد المركب $(1 + i)z$.
• نقطة $R$ ممثلة بالعدد المركب $2\overline{z}$.
• مطلوب إيجاد قيمة متغير $X$ حيث أن $|z| = X$.
• النقاط $P$، $Q$، و $R$ غير مستقيمة.

المطلوب:

• البحث عن المسافة القصوى بين النقطة $S$ والأصل في السطح المعقد.

خطوات الحل:

1. حساب الموقع النقطة $S$ في السطح المعقد، حيث $S$ هي رابعة الرباعي $PQRS$. يتم ذلك بتطبيق خوارزمية الباراليلوغرام:
   $S = Q + R – P = (1 + i)z + 2\overline{z} – z = 2\overline{z} + (1 + i)z – z = 2\overline{z} + iz.$

2. تبسيط التعبير للحصول على $S$ بشكل أكثر توحيدًا ودقة. يتم استخدام القواعد التالية:

   • قاعدة معكوس العدد المركب $\overline{z} = \frac{{|z|^2}}{z}$.
   • قاعدة القوى $i^2 = -1$.

3. حساب المسافة بين $S$ والأصل باستخدام القانون الذي يحدد المسافة بين نقطتين في السطح المعقد:
   $|S| = \frac{{|2X^2 – z|}}{X}.$

4. المسافة القصوى بين $S$ والأصل محدودة بثابت 3، وبالتالي نحصل على المعادلة:
   $\frac{{|2X^2 – z|}}{X} \leq 3.$

5. نعلم أن $|z| = X$، لذا يمكننا تبسيط المعادلة إلى:
   $|2X^2 – z| \leq 3X.$

6. الآن، يمكننا حساب الحد الأقصى لـ $X$ من خلال حل المعادلة $|2X^2 – z| = 3X$.

7. للقيام بذلك، يتعين علينا معرفة القيمة المحددة لـ $z$، والتي لم تحدد في السؤال.

باختصار، الحل يستند إلى استخدام القوانين والمفاهيم المتعلقة بالأعداد المركبة والمسافات في السطح المعقد، مع التركيز على تطبيق الخوارزميات والقواعد لتبسيط التعبيرات وحل المعادلات.