حل مسألة الأعداد المتكررة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إيجاد قيمة التعبير $1-0.\overline{9}$.

الحل:
لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام خواص الأعداد العشرية المتكررة. لنبدأ بتحويل $0.\overline{9}$ إلى كسر.

لنمثل $0.\overline{9}$ بالكسر $x$، فإذا كان $x=0.\overline{9}$، فنلاحظ أن:
$10x = 9.\overline{9}$

ثم نقوم بطرح $x$ من كلا الجانبين:
$10x – x = 9.\overline{9} – 0.\overline{9}$
$9x = 9$

من هنا، نجد أن قيمة $x=1$.

بما أن $x=1$، فإن $0.\overline{9}=1$.

الآن، يمكننا حساب القيمة المطلوبة:
$1 – 0.\overline{9} = 1 – 1 = 0$

إذاً، القيمة النهائية للتعبير $1-0.\overline{9}$ هي $0$.

لحل المسألة $1 – 0.\overline{9}$، سنقوم بتطبيق مفهوم الأعداد العشرية المتكررة وبعض الخواص الرياضية المتعلقة بها.

لنبدأ بتمثيل العدد المتكرر $0.\overline{9}$ بالكسر $x$. يعني ذلك أنه إذا كان $x = 0.\overline{9}$، فإن الرقم نفسه يتكرر للأبد بعد الفاصلة.

نستخدم القاعدة التالية: إذا كان $x = 0.\overline{9}$، فإن $10x = 9.\overline{9}$، حيث يكون الجزء العشري من $10x$ هو $9.\overline{9}$.

ثم نطرح العدد $x$ من كلا الجانبين للمعادلة $10x = 9.\overline{9}$:

$10x – x = 9.\overline{9} – 0.\overline{9}$
$9x = 9$

هنا استخدمنا قانون الطرح، حيث أنه يمكن طرح عددين متكررين من بعضهما بدون مشكلة، فنحصل على $9x = 9$.

الآن، بعد حساب $x$، نجد أن $x = 1$، مما يعني أن $0.\overline{9} = 1$.

ومن ثم، يمكننا استخدام هذه المعرفة لحساب القيمة المطلوبة:
$1 – 0.\overline{9} = 1 – 1 = 0$

باختصار، في هذا الحل، استخدمنا القوانين الرياضية التالية:

1. قانون الضرب: $10x = 9.\overline{9}$
2. قانون الطرح: $10x – x = 9.\overline{9} – 0.\overline{9}$
3. قانون حساب القيم: $9x = 9$
4. استنتاج: $0.\overline{9} = 1$

وبناءً على ذلك، تمكنا من حساب القيمة النهائية للتعبير $1 – 0.\overline{9}$، والتي تساوي $0$.